¿Cuál es la respuesta a la paradoja del disco de Feynman?

La conservación del momento angular no predice que el disco permanezca inmóvil, porque el campo en este caso tiene momento angular. Las cargas producen un campo eléctrico, y el campo magnético no es paralelo a él, por lo que hay un vector de Poynting dando vueltas en círculos, y el momento angular del campo se convierte en momento angular mecánico cuando desaparece el campo magnético. Se requiere que el movimiento del disco conserve el momento angular, ya que de lo contrario el momento angular se irradiaría en el campo radiativo cuando el campo magnético colapsa y, en este caso, el disco absorbe parte del momento angular.

Feynman incluye una versión de este rompecabezas en Feynman Lectures Vol II y lo resuelve. Lo único que no enfatiza es que el momento del campo y el momento angular se conservan durante los cambios lentos sin tener en cuenta el campo radiativo, que no está excitado.

EDITAR: en paridad con campos B

Al leer los comentarios, parece que le preocupa que el disco gire en un sentido con un signo de carga y en el otro sentido con el otro signo de carga. Esto parece extraño, porque el campo B es completamente invariante rotacionalmente alrededor del eje Z y también lo es el campo E (asumiendo que las cargas puntuales son pequeñas y densas), y parece extraño que la cosa pueda girar en una dirección --- ¿Cómo sabe ir por un lado y no por el otro?

La razón es que cuando piensas en la paridad (por qué una dirección y no la otra), el vector B no es natural. El vector B tiene una regla de la mano derecha para definir cómo se hace y cómo actúa. Parece que viola la paridad, pero cuando usa la regla de la mano derecha dos veces (una para hacer B y otra para hacer una fuerza), el resultado es invariable bajo paridad. Pero parece que las imágenes dan extrañas fuerzas no físicas. Esto es cierto para todos los campos B, incluso el campo B que hace círculos alrededor de un cable que lleva corriente. ¿Cómo sabe ir por un lado y no por el otro?

La forma más fácil de resolver esto es dibujar el campo B no como un vector, sino como un pequeño movimiento, un remolino, en un plano perpendicular a la dirección del campo B. Debe pensar en B (para fines de paridad) como si realmente viviera en el plano perpendicular al campo B y girara en cierta dirección. Para el caso del disco, el campo B que sale del disco en realidad no sale del todo, sale como un swoosh girando en sentido contrario a las agujas del reloj en el plano del disco. Esto refleja el movimiento físico de las cargas en el plano del disco que dan origen al campo B en primer lugar.

El silbido del campo B elimina cualquier confusión con respecto al signo de la rotación del disco. Cuando agrega un campo E de las cargas puntuales estáticas circundantes, genera un momento angular de campo porque el vector que apunta hace que el campo B se convierta en un flujo de momento real con un momento angular definido. Aquí es de donde proviene el momento angular para hacer girar el disco.

Usted pidió una referencia en los comentarios. La referencia son las conferencias de Feynman Vol II, donde analiza un círculo de cargas que forman un anillo alrededor de un cable y lo usa para motivar el momento del campo y el momento angular. Olvidé los detalles, pero es el mismo tipo de rompecabezas. Estas cosas se discutieron a fines del siglo XIX, cuando se descubrió el impulso de campo. Maxwell, Hertz, Pointing, Lorentz y otros contribuyeron, pero no leí esta literatura original, ya que resolver los acertijos de Feynman usando el formalismo moderno le brinda el contenido de esta literatura más rápidamente.

Feynman solía dar acertijos de este tipo para resumir literatura antigua y olvidada para una audiencia moderna, para mantenerla viva. Este fue un servicio maravilloso que hizo a las generaciones anteriores, y es una de las razones por las que es tan venerado no solo como investigador sino también como maestro. Los acertijos son preguntas realmente profundas de una generación anterior de físicos.

El capítulo 17 precede al capítulo 27 que cubre el momento del campo, por lo que está buscando una explicación simple que involucre el momento angular mecánico. El momento angular inicial del sistema lo lleva la corriente inicial en la bobina, por lo que no hay paradoja.

Tenga en cuenta también que el campo magnético no puede colapsar inmediatamente, sino que tiene que disipar la energía magnética almacenada en la resistencia de la bobina que transferirá el momento angular de la corriente a la bobina al disco, lo que hará que gire.

la corriente en la bobina difícilmente puede explicar el impulso, ya que las cargas opuestas que van en la dirección opuesta podrían proporcionar la misma corriente. Estas cargas tendrían un momento angular opuesto al primero, mientras que producen la misma corriente. Si desea verificar a dónde va todo el impulso, debe consultar un documento llamado "impulso oculto", que involucra la relatividad. Sin embargo, creo que no todo el documento es correcto, todavía no piensa en todo el sistema y se pierde algunas partes.

Volviendo a la paradoja de Feynman, se puede ver que la situación descrita está medio completa. Uno nunca pregunta cómo llegaron las cargas al campo magnético, o cómo llegó el campo magnético a las cargas. Imagine que el disco cargado ya estaba aquí, rodeando una bobina pasiva sin corriente, luego, cuando enciende la corriente, crea un campo magnético variable y, por lo tanto, un campo eléctrico, eso es solo inducción, por lo tanto, las cargas deben moverse y el momento angular de ambos campo + cargas igual a 0 (radiaciones separadas, pero enlazadas). Entonces, si las cargas están en reposo en un campo magnético, eso solo significa que ya disiparon el momento angular que obtuvieron de la inducción.

Me topé con esta publicación anterior y pensé en compartir otra respuesta con la que estoy familiarizado, del propio Feynman. Realmente me encanta cómo Feynman introduce grandes conceptos desde el principio y sigue insinuándolos para que cuando finalmente llegues allí, estés emocionado y preparado. En el capítulo 15, justo antes de la paradoja, Feynman introduce el vector potencial$\mathbf{A}$. Esto es básicamente lo que Ron Maimon estaba explicando arriba con el momento del campo y el vector de Poynting (también me gusta recordar el campo magnético como un swoosh, ¡gracias!). Pero, ahora que lo leí, Feynman parece realmente arrastrarse a través del enfoque del capítulo 27; se puede decir que no es su idea física preferida.

Con el vector potencial fresco en nuestras mentes, junto con su sugerencia de generalizar a la situación idealizada en el enunciado del problema original, tal vez nos estaba conduciendo aquí...

Capítulo 21 La ecuación de Schrödinger en un contexto clásico: un seminario sobre superconductividad

Este es el último capítulo de todo el asunto, y una joya de la corona. Por lo que he aprendido, los superconductores eran un poco frustrantes para él poco antes de la hora de las conferencias, y estaba un poco molesto cuando salió a la luz la teoría BCS (era una solución tan buena que tal vez desearía haber pensado de él mismo).

De todos modos, parece un capítulo de la joya de la corona no solo porque es el último y una explicación un poco más avanzada de las cosas, sino también porque logra unir muchas cosas.

Tengo entendido que podemos tratar el sistema en un sentido ideal, como un superconductor, y aplicar nuestros resultados a partículas individuales (o puntos cargados en un disco) afectados por el encendido (o apagado) de$\mathbf{A}$(o flujo de$\mathbf{B}$a través de una superficie). Todo el capítulo es un verdadero placer, así que no lo repasaré todo aquí, pero la esencia es que la amplitud de la ubicación de una partícula cargada cambia en presencia de$\mathbf{A}$ exponencialmente , y esto da como resultado un cambio en el operador de cantidad de movimiento en el hamiltoniano de$\hat{p}=\frac{\hbar}{i}\nabla$a$\hat{P}=\frac{\hbar}{i}\nabla-q\mathbf{A}$. Así que un cambio repentino en$\mathbf{A}$no cambia la función de onda inmediatamente. Cualquiera que sea el momento con el que la partícula comenzó (digamos,$mv=0$), ahora debe moverse con un impulso (cambio en$mv$) igual al vector potencial multiplicado por la carga para que se mantenga la conservación local del impulso durante el breve tiempo de colapso. Es decir, es el momento p total asociado con$\hat{p}=\frac{\hbar}{i}\nabla$se convierte$\mathbf{p}=m\mathbf{v}+q\mathbf{A}$. Esto mantiene la conservación del impulso localmente, ya que$\mathbf{P}=\mathbf{p}-q\mathbf{A}$.

Con la conservación local de la densidad de probabilidad$\psi\psi^\ast$, si la densidad de probabilidad disminuye en un lugar, debe aumentar en otro. Es decir, ¡debe haber una corriente de densidad de probabilidad ! Aquí es donde entra el bit superconductor. Para una función de onda que describe un grupo de partículas cargadas en un solo estado (como pares de cobre de un SC),$q\psi\psi^\ast$describe una densidad de carga eléctrica real . Entonces, una corriente de densidad de probabilidad es solo una densidad de corriente eléctrica real para un superconductor.

Trayendo todo de vuelta, un solenoide hecho de alambre superconductor (un anillo superconductor) con una corriente que fluye a través de él tendrá un flujo que se opone a la corriente (en realidad es al revés: ¡la corriente se opone al flujo aplicado!). Cuando la temperatura aumenta y la corriente en el solenoide llega a cero debido a la resistencia restaurada en el cable, se genera un campo eléctrico alrededor del solenoide acelerando las cargas (puntos en un disco) que inicialmente estaban (aunque artificialmente) en reposo, respondiendo con un cambio. en$m\mathbf{v}$igual a$q\mathbf{A}$. Entonces el disco gira. ¡Uf!

Como sabe, un campo magnético cambiante produce un campo eléctrico inducido que es tangencial al perímetro del disco. Entonces, cuando el campo magnético colapsa, debería haber un campo eléctrico inducido.

Ahora, dado que el momento angular inicial del sistema es cero y ninguna fuerza externa actúa sobre el sistema, se debe pensar que el momento angular final del sistema debe permanecer en cero, pero en cambio el disco gira. Esto se debe a que el campo eléctrico inducido es un parte de la onda electromagnética que tiene impulso y energía (un buen ejemplo de esto es que el láser que se produce mediante la emisión estimulada de radiación electromagnética se usa para cortar diamantes. Esto prueba que las radiaciones em tienen impulso). Tan pronto como el campo magnético colapsa, el campo eléctrico inducido transfiere su momento angular a la perla y el sistema comienza a girar.

¿Qué pasaría si no hubiera perlas en el perímetro, entonces el campo eléctrico inducido habría transferido su impulso a las partículas del medio circundante y la energía se habría disipado?