Ley de Biot-Savart y cargas superficiales sobre placas en movimiento

No estaba seguro de cómo proceder con esta pregunta, ya que la figura hace que parezca un condensador finito y no proporciona las dimensiones. Abordaré el problema suponiendo que el capacitor es infinito en el plano xy.

Ahora, hay una forma de averiguar la dirección del campo B neto: razonamiento lógico como lo hace Griffiths (Introducción a la electrodinámica, 3ra edición, p.226, ejemplo 5.8) para el caso de una placa con corriente superficial$K$. Tenga en cuenta que la corriente está en la dirección +x en este ejemplo.

En primer lugar, ¿cuál es la dirección de B? ¿Podría tener algún componente x? No: un vistazo a la ley de Biot-Savart (5.39) revela que B es perpendicular a K. ¿Podría tener un componente z? No otra vez. Podrías confirmar esto observando que cualquier contribución vertical de un filamento en +y es cancelada por el filamento correspondiente en -y. Pero hay un argumento mejor: supongamos que el campo apunta en dirección contraria al plano. Al invertir la dirección de la corriente, podría hacer que apunte hacia el plano (en la ley de Biot-Savart, cambiar el signo de la corriente cambia el signo del campo). Pero la componente z de B no puede depender de la dirección de la corriente en el plano xy. (¡Piénsalo!) Así que B solo puede tener un componente y, y un rápido control con tu mano derecha debería convencerte de que apunta a la izquierda sobre el plano y a la derecha debajo de él.

Griffiths luego procede a hacer un bucle amperiano y encuentra el campo B:

Entonces, en su caso, donde la corriente está en la dirección +y, tiene razón en que no puede haber un componente z. Sólo habrá un componente x .

Ahora para la verdadera diversión. Dado que puso esa ley de Biot-Savart para la corriente superficial en su pregunta, pensé que también podría usarla y seguir adelante y mostrar que el campo B neto está en la dirección x de la forma de integración. Así que aquí va

Sabemos,

$\vec{B}\left ( \vec{r} \right )=\frac{\mu_{0}}{4 \pi}\int \frac{\vec{K}\left ( \vec{r'} \right )\times \vec{\eta}}{\left \| \vec{\eta} \right \|^{3}}da'$

dónde$\vec{\eta}=\vec{r}-\vec{r'}$dónde$\vec{r}$es el vector distancia desde el origen hasta el punto de campo y$\vec{r'}$es el vector distancia desde el origen hasta la fuente de carga.

k =$\sigma$v$\hat{y}$

Tomemos cualquier punto ($\ x_1,y_1,z_1$) en el que queremos encontrar el campo B neto. Encontramos el campo aquí debido a la corriente superficial en el punto general ($\ x,y,0$)

$\vec{\eta}=(x_1-x)\hat{x}+(y_1-y)\hat{y}+z_1\hat{z}$

${\vec{K} ( \vec{r'} )\times \vec{\eta}}$=$\sigma$v$\hat{y} \times ((x_1-x)\hat{x}+(y_1-y)\hat{y}+z_1\hat{z})$=$z_1\hat{x}-(x_1-x)\hat{z}$

Ahora para la integral, que tomo todo el plano xy:

$\vec{B}\left ( \vec{r} \right )=\frac{\mu_{0}\sigma v}{4 \pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\vec{K}\left ( \vec{r'} \right )\times \vec{\eta}}{( {(x_1-x)^{2}+(y_1-y)^{2}+{z_1}^{2}} )^{3/2}}dxdy$=$\frac{\mu_{0}\sigma v}{4 \pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{z_1\hat{x}-(x_1-x)\hat{z}}{( {(x_1-x)^{2}+(y_1-y)^{2}+{z_1}^{2}} )^{3/2}}dxdy$

Separando esta integral en dos independientes, una que encuentra el campo en la dirección x y otra en la dirección z: la última resulta cero y la primera:

$\frac{\mu_{0}\sigma v}{4 \pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{z_1\hat{x}}{( {(x_1-x)^{2}+(y_1-y)^{2}+{z_1}^{2}} )^{3/2}}dxdy =\frac{\mu_{0}\sigma v}{4 \pi}*\frac{2 \pi z}{|z|}$

Entonces, obtienes:

$\vec{B}=\frac{\mu_0\sigma v\hat{x}}{2} (z>0$, es decir, por encima de la placa positiva)

$\vec{B}=-\frac{\mu_0\sigma v\hat{x}}{2} (z<0$, es decir, debajo de la placa positiva)

Extendiendo estos resultados a ambas placas (sumando las contribuciones de ambas$\sigma$y -$\sigma$encontrarás eso

$\vec {B}=-\mu_0\sigma$v$\hat{x}$(entre los platos)

$\vec {B}=0$(encima y por debajo)

Espero haber resuelto todas tus dudas!