Recientemente, en su Conferencia Hirzebruch de 2015 en Bonn , Arthur Jaffe reamplificó su famosa perspectiva de que encontrar pruebas en matemáticas es análogo a hacer observaciones experimentales en física. Parafraseando: Uno observa que existe una prueba, tanto como uno observa que existe una partícula fundamental.
En consecuencia, Jaffe sugiere decir "matemáticas experimentales" para la actividad de encontrar pruebas de teoremas (y decir "matemáticas teóricas" para actividades como comprobar parcialmente la hipótesis de Riemann mediante cálculo).
A primera vista, esto podría parecer ir contra la corriente. Pero pensándolo bien, creo que Jaffe tiene un excelente punto aquí.
Me pregunto si este tipo de sentimiento no ha sido expresado también por teóricos del tipo como Martin-Löf. ¿Existe literatura citable decente que amplíe la estrecha relación entre, por un lado, la prueba y/o el juicio de verdad y, por otro lado, la observación ?
Este punto de vista se refleja mejor si cambiamos "observación" por "experimento" en el título, la mera observación es más análoga a la conjetura, por lo que puede ser algo engañoso. Así es como lo expresaron Jaffe y Quinn en su propuesta original de 1992: " afirmamos que el papel de la demostración rigurosa en matemáticas es funcionalmente análogo al papel del experimento en las ciencias naturales... Usamos el término matemáticas teóricas para las matemáticas especulativas y trabajo intuitivo; nos referimos a la fase orientada a la demostración como matemáticas rigurosas ”. Y se negaron explícitamente a usar "matemáticas experimentales" en el sentido descrito en el OP, para ellos "matemáticas experimentales" es parte de las "matemáticas teóricas":
" Aunque el uso de la prueba en matemáticas es funcionalmente paralelo al experimento, no estamos sugiriendo que las pruebas deban llamarse matemáticas "experimentales". Ya existe un uso apropiado y bien establecido de ese término, a saber, para referirse a cálculos numéricos y simulaciones por computadora como pruebas de conceptos matemáticos. De hecho, los resultados de los experimentos por computadora se presentan con frecuencia de una manera que podríamos llamar teórica ". Tuvimos una discusión sobre temas filosóficos relacionados en ¿Qué hace que algo sea matemática?
La propuesta y las respuestas de algunos destacados matemáticos y físicos (Atiyah, Mandelbrot, MacLane, Witten, etc.) están disponibles en arxiv . La mayoría de las respuestas son negativas, pero en gran medida se basan en la idea de Jaffe y Quinn de institucionalizar su separación entre las matemáticas teóricas y rigurosas, y hacer de las matemáticas teóricas una disciplina independiente. La mera tesis de que la prueba rigurosa sirve para fines de validación en matemáticas, al igual que los experimentos en física, no es controvertida. En todo caso, la mayoría de los que respondieron argumentan que el aspecto heurístico es esencial para el funcionamiento normal de las matemáticas, y separar las "matemáticas rigurosas" las esterilizaría.
Martin-Löf no participó, pero sí otro constructivista, Chaitin. Apoya en gran medida la idea de las matemáticas teóricas y utiliza la incompletitud para argumentar que sus métodos son inevitables en principio:
" El enfoque de la teoría de la información sobre la incompletitud hace que la incompletitud parezca omnipresente y natural... Por lo tanto, creo que la teoría elemental de los números debe perseguirse un poco más en el espíritu de la ciencia experimental. Euclides declaró que un axioma es una verdad evidente, pero los físicos son dispuestos a asumir nuevos principios como la ecuación de Schrödinger que no son evidentes por sí mismos porque son extremadamente útiles. Quizás los teóricos de números, incluso cuando están haciendo teoría de números elemental, deberían comportarse un poco más como lo hacen los físicos y, a veces, deberían adoptar nuevos axiomas ". Su artículo posterior Randomness & Complexity in Pure Mathematics desarrolla aún más esta línea de razonamiento.
Pero si entiendo correctamente el último párrafo, lo que está buscando puede parecerse más a la vigorosa defensa de MacLane de las "matemáticas rigurosas", y el papel de la prueba no contaminada como un pilar de la verdad. Para él, Jaffe y Quinn le dan demasiado crédito a las "matemáticas teóricas" , " Jaffe y Quinn se apropian indebidamente de la palabra "Teórico" como una etiqueta para lo que es realmente especulación ". En su Pese a los físicos, la prueba es esencial en matemáticas , publicado por Synthese, elabora:
" La respuesta depende de una comprensión correcta de la filosofía de las matemáticas... las matemáticas son esa parte de la ciencia que se aplica en más de un contexto empírico... Los axiomas necesarios para esta formulación deben ser tales que se cumplan en todos los ejemplos ¿Y qué pasa con las consecuencias de estos axiomas? No se establecen con el ejemplo, son los que se establecen con la prueba -la prueba rigurosa- siguiendo los cánones lógicos de la prueba. En otras palabras, la prueba (y no el experimento o la especulación) es lo que se requiere en toda esa parte de la ciencia que es la matemática, y este requisito está ahí debido a la naturaleza misma de la matemática ”.
No tengo una respuesta para usted en los términos que se solicitan, pero hay una observación de Aristóteles ( Física VIII.3 ) que puede resultarle útil:
En cuanto al movimiento, sería extraño que no notáramos el movimiento hacia abajo de una piedra; ni dejamos de notar que está en reposo sobre la tierra.
Es casi como si Aristóteles estuviera anticipando las críticas populares de la ciencia griega en la antigüedad y respondiéndolas. Pero la respuesta prosaica es más probable que tuvo que enfrentarse a críticos similares en su propio tiempo y lugar en lugar de ser un filósofo capaz de predecir o profetizar.
El punto aquí es que la observación experimental , de una manera precisa y uniforme, fue una innovación baconiana. Él teorizó y lo elogió, pero se mantiene la noción más antigua de lo que constituye una observación, cuando uno simplemente toma la naturaleza misma como un laboratorio.
El artículo vinculado de 1993 contiene una seria crítica de las prácticas en física teórica en ese momento:
Esta falta de fiabilidad es ciertamente un problema en la física teórica, donde la literatura primaria a menudo se vuelve tan irrelevante que se abandona por completo. IM Singer ha comparado la literatura de física con una pizarra que debe borrarse periódicamente. Tradicionalmente, los físicos obtienen mucho menos beneficio de los antecedentes históricos de un problema y son menos aptos para buscar en la literatura. La vida media de citas de los trabajos de física es mucho más corta que en matemáticas.
Una crítica similar se aplica a la práctica de publicar anuncios de investigación:
Algunas áreas de la escuela rusa de matemáticas tienen una extensa tradición de trabajo teórico, generalmente realizado a través de anuncios de investigación prematuros. De los numerosos ejemplos posibles mencionamos sólo dos. [...] 1954 Kolmogorov anunció [...] las pruebas fueron logradas por Arnold en 1959 para el caso analítico y por Moser en 1962 para el caso liso.
[...] En 1973 los respetados matemáticos Dobrushin y Minios publicaron un anuncio de ese resultado. Dos años más tarde, cuando los rusos no habían recibido ninguna indicación de una prueba, Glimm, Jaffe y Spencer reanudaron su trabajo sobre el problema y finalmente dieron dos pruebas diferentes. Un par de años después, Dobrushin y Minios publicaron una retractación de su anuncio original.
El artículo señala las devastadoras consecuencias que tuvieron en el pasado prácticas similares en matemáticas, y trata de proponer soluciones para evitar esas consecuencias y permitir el trabajo teórico:
El trabajo teórico debe ser reconocido explícitamente como teórico e incompleto; en particular, una parte importante del crédito del resultado final debe reservarse para el trabajo riguroso que lo valida.
Solo se propone una solución para los anuncios de investigación (revelando las opiniones de los autores):
Los anuncios de investigación no deben publicarse, excepto como resúmenes de versiones completas que hayan sido aceptadas para su publicación. Las citas de trabajos inéditos deben distinguir claramente entre anuncios y preprints completos.
No pude acceder a la Conferencia Hirzebruch de 2015 en Bonn. Sin duda, sería interesante si Jaffe cree que las prácticas problemáticas aún persisten, o si más bien informa sobre el éxito de las soluciones que propone.
Incluso si esta puede no ser la respuesta que esperaba el interrogador, la pregunta presenta de manera destacada ese enlace al artículo de opinión de 13 páginas y un enlace a una conferencia no disponible. Por lo tanto, se debe permitir señalar que el artículo de opinión contiene afirmaciones fuertes que eclipsan (aunque sean verdaderas) cualquier discusión potencial sobre los detalles de las analogías sugeridas utilizadas en el artículo de opinión.
Jaffe justifica decir "matemáticas experimentales" para la actividad de encontrar pruebas de teoremas a través de:
Una observación relevante es que la mayoría de los físicos teóricos son bastante respetuosos con sus contrapartes experimentales. Las relaciones entre la física y las matemáticas serían considerablemente más fáciles si los físicos reconocieran a los matemáticos como "experimentalistas intelectuales" en lugar de considerarlos desdeñosamente como teóricos inútilmente compulsivos. La actitud típica de los físicos hacia las matemáticas se ilustra en un pasaje de un libro de PW Anderson: "Estamos hablando aquí de física teórica y, por lo tanto, por supuesto, el rigor matemático es irrelevante e imposible".
Esto deja en claro que Jaffe está hablando aquí de fenómenos sociológicos. Debido a que no existen (o existieron) fenómenos comparables dentro de la propia comunidad matemática, nunca hubo necesidad de expresar este tipo de sentimiento por parte de teóricos tipo como Martin-Löf. La estrecha relación entre verificabilidad, falsabilidad y significado por un lado, y la observación experimental en física, el rigor y la prueba en matemáticas, y la ausencia de especulaciones metafísicas en filosofía ha sido claramente expresada por los defensores del positivismo lógico .
Moritz
Urs Schreiber
Valentin Tihomírov