¿Cuál es la longitud de penetración del campo eléctrico estático en los metales conductores?

El modelo de profundidad de penetración no funciona para un buen metal, pero está bien para un semiconductor moderadamente dopado. La profundidad de penetración que obtiene es menor que un Angstrom para un buen conductor. Esto significa que los electrones de la superficie están esencialmente confinados a la primera capa atómica, con algo de campo entrando en las siguientes capas, y los detalles de los orbitales atómicos y las interacciones electrón-electrón son necesarios para determinar exactamente cómo desaparece el campo eléctrico.

modelo de profundidad de penetración

Aquí, asume que el potencial entra en una gelatina autoconsistente, que es una densidad de carga positiva uniforme más gas de Fermi casi libre. El potencial cambia los niveles de energía de los electrones, y esto se tiene en cuenta llenando los niveles del potencial. Pero tiene en cuenta las interacciones electrón-electrón modificando el potencial de acuerdo con la densidad de carga inducida.

Si a un metal gelatinoso se le impone un potencial V, la densidad numérica de los electrones en cualquier punto se puede calcular semiclásicamente sin error significativo, de la siguiente manera. El volumen del espacio de fase ocupado por electrones en una caja de longitud lateral$\Delta$a un potencial electrostático$\phi$es:

$${4\pi\over 3} (2m(E_f+e\phi))^{3\over 2} \Delta^3$$

donde m es la masa del electrón, e es la magnitud de su carga y$E_f$es la energía de Fermi. Dividiendo esto por$h^3 = (2\pi \hbar)^3$da el número de estados ocupados. Esto da inmediatamente la densidad de electrones en un potencial que varía lentamente.

$$n(x) = {1 \over 6\pi^2} (\sqrt{ k_f^2 + {2em \phi\over \hbar^2}})^3$$

Si bien el modelo de gelatina no es bueno para los estados bajos, que ven un potencial eléctrico no uniforme de los núcleos localizados, sigue siendo un buen material de modelo con una superficie esférica de Fermi, y está bien para estimaciones de orden de magnitud incluso lejos de una superficie esférica. superficie de Fermi. El punto es que la densidad numérica real no es lo importante, es solo la variación en la densidad numérica dado un cierto V(x) lo que importa, y esto puede ser exacto incluso cuando la densidad numérica en sí es muy incorrecta, porque la los estados muy por debajo de la superficie de Fermi no están bien en el modelo.

De todos modos, expandir esta densidad al orden más bajo en V y multiplicar por -e da la densidad de carga electrónica dado un potencial externo impuesto:

$$\rho(x) = - {1\over 6\pi^2} e k_f^3 + {2\over \pi} k_f {e^2\over 4\pi\hbar c} {mc\over \hbar} \phi(x)$$

El primer término se puede identificar como la densidad de carga constante de los electrones en ausencia de un potencial, y esto es cancelado por la carga positiva en la gelatina. El término restante da una densidad de carga proporcional al potencial, lo que conduce a la detección de campos estáticos.

Cuando$\rho$es proporcional a V,$\rho= k V$la ecuación de Laplace se convierte en la ecuación de Poisson

$$\nabla^2 \phi = 4\pi \rho = 4\pi k \phi$$

La longitud de proyección inversa se encuentra resolviendo la versión 1d, y es$\sqrt{4\pi k}$. Para el problema particular anterior, la duración de la proyección$l_s$es dado por:

$$l_s^{-1} = \sqrt{8 k_f \alpha \over \lambda}$$

Dónde$\alpha = {1\over 137}$es la constante de estructura fina,$\lambda$es la longitud de onda Compton del electrón por$2\pi$. La combinación${\alpha \over \lambda}$es el radio de Bohr, así que esto es realmente

$$l_s^{-1} = \sqrt{8 k_f \over a_0}$$

La longitud de proyección es la media geométrica del momento de Fermi inverso y el radio de Bohr dividido por la raíz cuadrada de ocho.

Para un buen metal, el momento inverso de Fermi es aproximadamente un Angstrom, aunque puede ser mucho más largo en un semiconductor. El resultado es menor que un Angstrom y, por lo tanto, no es físico. En este régimen, las suposiciones utilizadas para derivar la gelatina autoconsistente se desmoronan.

Por lo tanto, el modelo de profundidad de penetración no es correcto para un buen metal, y requiere un impulso de Fermi que es aproximadamente 10 a 100 veces más pequeño que el espacio de la red para ser bueno. Esta es la situación en un semiconductor, pero no en buenos metales.