¿Por qué el conductor es una superficie equipotencial en electrostática?

Nibot dio la respuesta de "primer nivel" en un comentario.

Todo el conductor debe ser equipotencial. Si hubiera una diferencia de potencial de una parte de un conductor a otra, los electrones libres se moverían bajo la influencia de esa diferencia de potencial para cancelarla.

Sin embargo, dado que yo mismo tengo una curiosidad similar, intentaré responder con mayor profundidad.

Imagina una esfera conductora con una carga negativa. Existe un cierto número de electrones sobrantes. Un conductor tiene electrones que están ligados en su órbita a un núcleo dado y electrones en la banda de conducción. Todo el volumen de la esfera más allá de cierta distancia de la superficie está casi perfectamente equilibrado en la escala de unos pocos átomos. Es decir, el número de electrones se equilibra perfectamente con el número de núcleos y, en realidad, la "órbita" de los electrones de la banda de conducción abarca muchos núcleos.

La discusión crítica es qué sucede con los electrones "excedentes". De acuerdo con las ecuaciones de potencial electrostático, todos deben existir exactamente en la superficie de la esfera . Esto, por supuesto, es físicamente absurdo. Sin embargo, no hay nada absurdo en las matemáticas de una carga superficial. Una carga superficial da un buen comportamiento:

• campo - que es simplemente normal a la superficie y apunta hacia la superficie en el caso de los electrones. Tiene la forma matemática de$-|x|/x$si la superficie está en$x=0$.
• potencial - que es lineal por partes, que tiene la forma matemática de$|x|$

En el caso del conductor rico en electrones del que hablo, el campo y el potencial pueden revisarse debido a la existencia de un campo a partir de la geometría curva de la esfera. el campo es$0$dentro de la esfera y un valor negativo justo encima de la superficie. El potencial es constante dentro de la esfera y aumenta linealmente (debido a la carga negativa) justo por encima de la superficie.

La densidad de carga excedente matemáticamente sigue una función Dirac-delta alrededor de la superficie. Démosle a la densidad de carga excedente la notación de$\rho(x)=-\delta(x)$(todavía usando negativo porque estos son electrones). ¿Cómo resolvemos este absurdo? Seguramente es absurdo, porque implicaría que los electrones se amontonan, saturan la banda de conducción, y habitarían niveles energéticos aún mayores. Aquí hay una ilustración básica para la banda de conducción:

Quiero llamar la atención sobre el eje y, energía. ¿Energía de qué? Esta es la energía del orbital (para un solo electrón, creo), que proviene de la física que yo mismo no entiendo, incluido el principio de exclusión de Pauli y la física cuántica. Sin embargo, para responder a esta pregunta, creo que necesitamos una conclusión simple y propondré tal cosa aquí. Dado que los electrones no están unidos a un solo núcleo, lo mejor será hablar de la densidad de carga total en algún punto. En un punto dado, la carga excedente tiene dos potenciales asociados , siendo estos el potencial electrostático (lo llamaré$V_{C}$) y lo que llamaré potencial de banda de conducción (llamaré$V_{B}$) (aunque agradecería que alguien proponga una mejor terminología).

$$V_C(x) = \int_x^\infty k \rho(x') dx'$$

$$V_B(x) = V_B( \rho(x) )$$

Realmente no sé cómo es esta función para la energía de la banda de conducción. Me imagino que para un conductor en sentido diferencial sería lineal (ver imagen), y dado que$\rho$es una medida de la plusvalía , probablemente podría formalizarse como$V_B(x) = C \rho(x)$dónde$C$es una constante

Mi punto es que puedes usar las combinaciones de estos dos potenciales para resolver el absurdo de la acumulación de carga infinita. ¿Qué ecuación fundamental debemos tratar de satisfacer? Sugiero que cada carga libre en el conductor asumirá el estado de energía más bajo posible . Las cargas siempre se moverán a un potencial más bajo, a menos que algo las esté reteniendo, ese "algo" es$V_B$, o el potencial de banda de conducción, la presión de acumulación cuántica, o como deberíamos llamarlo. Puedes usar algunas matemáticas para determinar:

$$V_B(x) + V_C(x) = constant = V_C$$

Dejar$V_C$por sí mismo representan el potencial en el centro de la esfera

Es útil notar que$\rho(x)=0$en la mayoría de la esfera, así que para la mayoría de la esfera$V_B=0$, y es por eso que a menudo no consideramos este concepto en las clases de física básica (y por qué es tan difícil para usted y para mí obtener respuestas directas sobre la pregunta). Esto tiene una implicación interesante de que solo un pequeño espesor muy cerca de la superficie tiene estas interesantes dinámicas asociadas.

Ahora, si combina todas las ecuaciones que he presentado hasta ahora, puede obtener una ecuación diferencial para la densidad de carga excedente en la vecindad de la superficie. Creo que esto da como resultado una ecuación simple de primer orden que produce una exponencial decreciente. Encuentro las condiciones de contorno un poco difíciles, porque la densidad de carga excedente más allá de la superficie es$0$, pero se permite que la función sea discontinua allí, por lo que creo que la condición necesaria en lugar de una condición límite sería$V(-\infty)=V_C$, que es fácil de implementar.

Entonces mi respuesta es que un conductor no es una superficie equipotencial si considera los efectos orbitales/cuánticos . En la vecindad de la superficie, el potencial tendrá la siguiente forma general si la superficie está en$x=0$y el conductor está en el lado -x.

$$V(x) = \begin{cases} V_C + c e^{\lambda x}, & \mbox{if} x<0 \\ V_C + c + d x, & \mbox{if} x \ge 0 \end{cases}$$

c y d son constantes no se el valor de

Mientras escribía esta respuesta, me topé con el concepto de la capa Stern . Esto puede ser lo que estoy describiendo, pero no estoy completamente seguro.

http://en.wikipedia.org/wiki/Double_layer_%28interfacial%29

Esto se parece mucho a lo que estaba describiendo. Creo que la longitud de Debye también podría ser útil, que parece ser la escala general sobre la que importan estos efectos (de acumulación de carga). Entonces, el refinamiento de bytes de sonido de la respuesta de nibot puede ser que el potencial de la mayoría de los conductores es casi constante porque la longitud de Debye es pequeña en relación con sus dimensiones totales .

Esta no es mi área, pero la pregunta siempre me volvió loco personalmente, y espero que mi respuesta mega exagerada sea útil para alguien algún día.

otra referencia

Si uno solo estuviera interesado en una imagen cualitativa rápida (que es todo nuestro número de lectores), sería mejor ignorar todo lo escrito en esta respuesta y, en cambio, mirar esta imagen de un profesor de la Universidad de Kiel, el Dr. Helmut Föll .

Introducen la terminología útil del potencial electroquímico , sobre el que ya he escrito a fondo hasta este punto. ¡Este potencial está compuesto por el potencial electrostático agregado a algo más para lo que todavía no puedo encontrar un nombre! No obstante, el sitio web ofrece la siguiente fórmula para el potencial sin nombre.

$$V_B(\rho) = \frac{kT}{e} ln \rho(c)$$

Esta referencia también presenta argumentos para la linealización de la función anterior. ¿Por qué? ¿Y cuáles son los límites de esto?

Por lo tanto, podemos suponer dentro de una muy buena aproximación que la densidad de portadores en cualquier punto está dada por la densidad de volumen constante c0 del material libre de campo, más una adición bastante pequeña dependiente del espacio c1(x);

Así que sí, hicieron lo que pensé que hicieron. ¿Qué pasa con la justificación? Aquí:

Como sabrá, la longitud de Debye es un parámetro material crucial no solo en todas las cuestiones relacionadas con la conductividad iónica (el campo de la "Iónica"), sino siempre que la concentración del portador no sea extremadamente grande (es decir, comparable a la concentración de átomos, es decir, en rieles).

Bam. Este es un argumento muy fuerte y bien razonado. Cuando nos ocupamos de la electrostática, el número excedente de electrones es extraordinariamente pequeño en comparación con el número total de átomos. Incluso si el excedente se distribuye entre una longitud microscópica de Debye en la superficie, seguirá siendo muy pequeño en comparación con la densidad de protones (número por volumen). Obviamente, estas declaraciones fallan en casos especiales, como los semiconductores, que están diseñados específicamente para violar las suposiciones establecidas aquí. En ese punto, volverás a los primeros principios. Sin embargo, tengo algunas dudas con el$ln(\rho)$forma. Mi intuición es que se aplicaría específicamente a una sola banda de conducción. Por supuesto, todos los niveles de energía están cuantificados en primer lugar, pero esto se está volviendo mucho más complicado de lo que alguna vez necesitábamos.

Como nota personal, siempre tuve problemas con la química en mis primeros estudios. Si hace 10 años alguien se me hubiera acercado y me hubiera dicho "oye, Alan, la química se trata realmente del equilibrio del potencial electroquímico, que incluye el potencial electrostático y otros potenciales que se pueden cuantificar empíricamente", creo que podría ser ingeniero químico en este momento. Sin embargo, dio la casualidad de que tenía un profesor de física fantástico y un profesor de química aceptable. ¡Simplemente demuestra el impacto que pueden tener los maestros y la importancia de usar argumentos no subjetivos en el aula!

El cambio de potencial entre dos puntos es

$$\Delta V = \int_a^b \mathrm{d}\vec{\ell} \cdot \vec{E}$$

pero dentro del conductor$\vec{E} = 0$por lo que la integral entre dos puntos interiores cualesquiera también es cero, en consecuencia, el interior tiene el mismo potencial.

Este resultado se puede entender matemáticamente. Suponga que el sistema ha alcanzado el equilibrio y todas las cargas han dejado de moverse, por lo que se aplica la electrostática. Entonces el potencial es una función armónica.$\Delta \varphi = 0$en$\mathbb{R}^3$y el conductor es una región cerrada y acotada en$\mathbb{R}^3$.

Una propiedad general de las funciones armónicas es el principio del máximo. En resumen, si$\varphi$es armónico en un conjunto abierto$\Omega$y$B \subset \Omega$es una región cerrada y acotada, entonces$\varphi$no tiene mínimo ni máximo local en el interior de$B$y el máximo y mínimo absoluto de$\varphi$ocurrir en el límite de$B$. En particular, si$\varphi$es constante en el interior de$B$debe ser (la misma) constante en el límite de$B$.

Porque si la superficie no es equipotencial, significaría que hay una componente tangencial del campo eléctrico a lo largo de la superficie.

Este componente dará como resultado el movimiento de electrones, pero dado que tenemos campos estáticos, esto no es posible. Así por contradicción podemos decir que la superficie debe ser equipotencial.

Sabemos que dentro del conductor,$E = 0$, por lo que esto también se aplica en el borde del conductor. Entonces tenemos

$$0 = - \nabla V$$

Esto implica$V = constant$

tal que el borde es una superficie equipotencial.