¿Cuál es la fuerza de atracción ejercida sobre una carga puntual por una carga inducida, desde un plano conductor puesto a tierra infinito?

Esta pregunta está motivada por la Sección 3.2.3 del libro de Griffiths sobre Electrodinámica .

Estoy tratando de calcular la fuerza de atracción ejercida sobre una carga puntual por una carga inducida, desde un plano infinito conectado a tierra. Utilizando el método de las imágenes, podemos calcular el potencial a ser

V ( X , y , z ) = 1 4 π ϵ 0 [ q X 2 + y 2 + ( z − d ) 2 − q X 2 + y 2 + ( z + d ) 2 ] .

No estoy seguro de adónde ir desde aquí. Griffiths sugiere usar la relación

F = − q   ∇ V ,
pero no veo por qué esta es la fuerza de atracción . No puedo entender por qué esta debería ser la fuerza ejercida sobre q , en lugar de la fuerza ejercida b y q .

Pero incluso si F = − q   ∇ V , todavía no sé cómo calcular la fuerza. Las componentes del gradiente están dadas por

∂ V ∂ X = 1 4 π ϵ 0 { − q X [ X 2 + y 2 + ( z − d ) 2 ) ] 3 / 2 + q X [ X 2 + y 2 + ( z + d ) 2 ] 3 / 2 } , ∂ V ∂ y = 1 4 π ϵ 0 { − q y [ X 2 + y 2 + ( z − d ) 2 ) ] 3 / 2 + q y [ X 2 + y 2 + ( z + d ) 2 ] 3 / 2 } , ∂ V ∂ z = 1 4 π ϵ 0 { − q ( z − d ) [ X 2 + y 2 + ( z − d ) 2 ) ] 3 / 2 + q ( z + d ) [ X 2 + y 2 + ( z + d ) 2 ] 3 / 2 } .

Evaluando el gradiente en ( 0 , 0 , 0 ) da F = − 1 4 π ϵ 0 2 q 2 d 2 z ^ , pero Griffiths nos dice que la fuerza es F = − 1 4 π ϵ 0 q 2 ( 2 d ) 2 z ^ . La única forma que veo para llegar a este resultado es evaluar el gradiente en ( 0 , 0 , d ) , pero el z componente del gradiente ( ∂ V / ∂ z ) es singular allí. Y ni siquiera estoy seguro de por qué uno evaluaría el gradiente en ( 0 , 0 , d ) , en vez de ( 0 , 0 , 0 ) .

He buscado en Google y en este sitio, y no he podido encontrar las respuestas a mis preguntas. Me doy cuenta de que estas preguntas son bastante simples, pero no tengo mucha experiencia en física. Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Respuestas (3)

La partícula no puede ejercer fuerza sobre sí misma, por lo que no es necesario incluir su propio potencial al calcular la fuerza. Además, la partícula está en ( 0 , 0 , d ) entonces calculando el gradiente en ( 0 , 0 , 0 ) es inútil

Podemos elegir que el potencial en la superficie del plano conductor conectado a tierra sea cero. La referencia citada por jackrogers señala que si eliminamos el plano y lo reemplazamos por una carga igual y opuesta que se encuentra más allá de la posición del plano, podemos nuevamente elegir que el potencial sea cero en todos los puntos a lo largo de la posición del plano. Esto implica que el campo sobre el plano debe ser el mismo en ambos casos. En lugar de trabajar con el campo de las cargas distribuidas inducidas en el plano, podemos trabajar con el de la carga “imagen”.

Una pista muy buena para la respuesta a esta pregunta (o, de hecho, posiblemente su respuesta) se da aquí .

El potencial correspondiente a una carga puntual en el semiplano superior e infinito conductor puesto a tierra viene dado por el potencial V especificado en la pregunta anterior.

La fuerza generada por este arreglo, en cualquier punto, está dada por F = − q ∇ V . Las contribuciones a esta fuerza incluyen:

  1. la carga puntual q ,
  2. la carga inducida del plano conductor.

Por lo tanto, si deseamos calcular la fuerza del plano conductor, podemos restar la contribución de la carga puntual:

F i norte d tu C mi d = F − F q ,
dónde F q representa la contribución a la fuerza de la carga puntual. La validez de esta ecuación está garantizada por el principio de superposición. Así podemos concluir que
F i norte d tu C mi d = F − F q = F i metro a gramo mi ,
dónde F i metro a gramo mi es la fuerza de la carga de la imagen. En la ubicación de la carga puntual, esto da
F i norte d tu C mi d = F i metro a gramo mi = − 1 4 π ϵ 0 q 2 ( 2 d ) 2 z ^ .

¿Cuál es la fuerza de atracción ejercida sobre una carga puntual por una carga inducida, desde un plano conductor puesto a tierra infinito?
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