¿Cuál es la fórmula general para la dilatación del tiempo debido a la velocidad y la gravedad juntas?

Has malinterpretado la ecuación que da Wikipedia :

$$\frac{d\tau}{dt} = \sqrt{1 - \beta^2 - \beta_e^2 - \frac{\beta_{||}^2 \beta_e^2}{1-\beta_e^2}} \tag{1}$$

en esta ecuacion$\beta$es la velocidad radial y$\beta_{||}$es la velocidad tangencial (ambas en unidades de$c$). Entonces, si está considerando un objeto que cae radialmente hacia adentro, tendría una velocidad tangencial cero y la ecuación (1) se simplifica a:

$$\frac{d\tau}{dt} = \sqrt{1 - \beta^2 - \beta_e^2 } \tag{2}$$

También Wikipedia está siendo muy engañosa al llamar$\beta_e$la velocidad de escape. Es numéricamente igual a la velocidad de escape newtoniana, pero no es igual a la velocidad de escape real del objeto. Es solo una forma conveniente de referirse a la cantidad:

$$\beta_e = \sqrt{\frac{2GM}{r}} = \sqrt{\frac{r_s}{r}}$$

Entonces la ecuación (2) se convierte en:

$$\frac{d\tau}{dt} = \sqrt{1 - \beta^2 - \frac{r_s}{r} } \tag{3}$$

La velocidad del objeto que cae desde el infinito está dada por:

$$\frac{v}{c} = \left(1 - \frac{r_s}{r}\right)\sqrt{\frac{r_s}{r}} \tag{4}$$

Véase, por ejemplo, mi respuesta a ¿ Caerá siempre un objeto a una velocidad infinita en un agujero negro? . Deducir la ecuación (4) es algo complicado para el principiante, así que lo dejo como ejercicio para el lector.

De todos modos, para su ejemplo de un objeto que cae libremente en el agujero negro que nos dará:

$$\frac{d\tau}{dt} = \sqrt{1 - \left(1 - \frac{r_s}{r}\right)^2\frac{r_s}{r} - \frac{r_s}{r} } \tag{5}$$

Grafiqué esto para ver cómo se ve y obtuve:

Entonces la proporción$d\tau/dt$va suavemente a cero en el horizonte de eventos como se esperaba.