¿Cuál es el significado del campo de valor complejo en la difracción?

Esta es una pregunta de física filosófica que se me ocurrió cuando estaba calculando puntos focales limitados por difracción durante mi doctorado.

Cuando se habla de difracción, la mayoría de los libros de texto (como Hecht's Optics o Wikipedia) comienzan con las ecuaciones de Maxwell, por ejemplo:

(1) ∇ × mi → = − ∂ B → ∂ t

Luego derivan la ecuación de onda y continúan con el principio de Huygens y la integral de Kirchhoff y finalmente pueden terminar en la difracción de Fraunhofer y llegar a algo como la siguiente fórmula:

(2) mi ~ ( X ~ ) = ∫ − ∞ ∞ mi ( X ) Exp ⁡ ( i k X X ~ / D ) d X

Mi pregunta es básicamente: ¿cuál es el significado de la variable compleja mi en la Ecuación (2)? Dejame explicar. Hecht tiene bastante claro que esto es lo mismo que el campo eléctrico en la Ecuación (1) (permaneció así durante toda la derivación) y que la intensidad observada es el módulo cuadrado de un campo eléctrico que oscila rápidamente. El hecho de que el campo eléctrico q mi → = F → Este complejo se considera simplemente como una herramienta matemática, aunque no está claro cuál es la relación matemática con el viejo campo de CC de valor real.

Edit2: Tenga en cuenta que mi en la Ecuación (2) es verdaderamente compleja valorada. Si hubiera dado la misma ecuación en el límite de Fresnel, por ejemplo, una lente delgada perfecta en la rendija no cambiaría la amplitud, pero introduciría una fase de la forma Exp ⁡ ( i k X 2 / F ) . Entonces mi no es en general real .

Las ecuaciones de Maxwell son ciertamente la última palabra en electrodinámica clásica. Y todo el mundo ha realizado experimentos de una y dos rendijas para verificar el resultado final de la Ecuación (2) desde la escuela secundaria, tal vez haciendo pasar un láser a través de algunas rendijas. El hecho de que un campo eléctrico continuo interfiera para crear mínimos y máximos parece sensato.

Sin embargo, también sabemos que esta idea de un campo eléctrico continuo es engañosa: la luz que se difracta consiste en miles de millones de fotones. Podríamos realizar fácilmente el experimento enviando fotones a través de rendijas a una velocidad de 1/minuto. Entonces, no hay forma de que dos fotones sucesivos puedan interferir entre sí. En ese caso, si tuviéramos un CCD, por ejemplo, en lugar de ver un perfil de intensidad suave que aumenta en intensidad con cada nuevo fotón, veríamos emerger una imagen granulada a medida que cada fotón golpea un píxel en particular en el CCD. Solo después de un número estadísticamente significativo de fotones comenzaríamos a aproximarnos al suave, por ejemplo. s i norte C ( X ~ ) función.

Una explicación es clara: la variable de valor complejo en la Ecuación (2) cuyo módulo cuadrado debemos tomar no es el campo eléctrico, sino algo así como la función de onda (o un equivalente relativista). Esto explicaría el párrafo anterior y permitiría que el campo eléctrico fuera real. Pero entonces, ¿por qué surge directamente de la ecuación de Maxwell, como insiste Hecht que tiene el campo eléctrico? Claramente, las ecuaciones (1) y (2) hacen predicciones experimentales muy precisas, pero ¿cómo se reconcilian con la teoría cuántica de campos?

Editar: ¿Cómo se reconcilia un campo eléctrico con, por ejemplo, la difracción de electrones, que puede formar una distribución idénticamente "granulada"?

Por cierto, después de muchos debates con físicos investigadores, la mejor respuesta que he escuchado hasta ahora es: "Bueno, soy físico, así que, en última instancia, todo es una teoría de campo".

En la física clásica, se supone que debes tomar la parte real, porque los números complejos son una conveniencia matemática y en realidad son físicamente significativos. El campo eléctrico no es una función de onda.
Mi comentario original fue editado, incluido el título, porque se asumió que la respuesta a mi pregunta era "el campo eléctrico" y que estaba confundido acerca de por qué debería ser complejo. Ese no es el caso. Mi pregunta es cómo la teoría cuántica de campos y la difracción de partículas (fotones, electrones, etc.) pueden reconciliarse filosóficamente con las ecuaciones de la electrodinámica clásica de Maxwell.

Respuestas (3)

¿Cuál es el significado de la variable compleja? mi ?

el campo electrico mi ( r , t ) es una función real de posición y tiempo. Debido a esto, su transformada de Fourier (en el espacio o el tiempo) es hermitiana, es decir mi ~ ∗ ( ω ) = mi ~ ( − ω ) , dónde mi ~ ( ω ) = F [ mi ( t ) ] es la transformada de Fourier del campo eléctrico. Esta propiedad significa que las frecuencias negativas llevan la misma información que las frecuencias positivas.

Dado que los componentes de frecuencia negativos no llevan ninguna información, no necesitamos calcular la evolución de los componentes de frecuencia positivos y negativos del campo para representar toda la física de un problema. Por lo tanto, podemos definir la función

mi ~ a ( ω ) = { mi ~ ( ω ) si  ω ≥ 0 0 de lo contrario ,
que podemos usar para representar nuestro campo sin ninguna pérdida de información. Tomando la transformada inversa de Fourier de esta función nos da
mi a ( t ) ≡ F − 1 [ mi ~ a ( ω ) ] .
La transformada de Fourier conserva toda la información, por lo que actúa sobre la función compleja mi a ( t ) representa completamente toda la información en cualquier problema físico. Esta función compleja mi a ( t ) se conoce como la representación analítica del campo eléctrico, y representa exclusivamente las componentes de frecuencia positiva de mi ( t ) (que sin embargo contienen toda la información del problema).

Una buena introducción detallada a la representación analítica de campos se puede encontrar en el capítulo 3 del Libro "Coherencia y Óptica Cuántica" de Mandel y Wolf.

Sin embargo, también sabemos que esta idea de un campo eléctrico continuo es engañosa.

Esto no es exactamente cierto. Las soluciones de campo de la ecuación de Maxwell son perfectamente válidas, incluso en el régimen cuántico. La diferencia proviene del hecho de que las amplitudes de campo para una configuración de campo dada (p. ej., una solución continua de las ecuaciones de Maxwell) se vuelven valoradas por operadores.

La variable de valor complejo en la Ecuación (2) cuyo módulo cuadrado debemos tomar no es el campo eléctrico, sino algo así como la función de onda.

De hecho, encuentro que esta es una forma útil de pensar sobre esto, y no estoy solo (ver, por ejemplo, thispapel). Sin embargo, hay que tener cuidado con esta imagen. A diferencia de las partículas masivas (como los electrones), los fotones no tienen masa y, por lo tanto, no existe una teoría no relativista adecuada para los fotones. Algunas personas interpretan que esto significa que no se puede tener una teoría de la luz cuantificada en primer lugar (solo una descripción de la teoría del campo cuántico / cuantificada en segundo lugar). Sin embargo, técnicamente, la primera imagen de cuantización de los electrones también es una aproximación de una teoría cuántica de campo completamente relativista más completa, por lo que creo que es hipócrita decir que una primera teoría aproximada cuantizada está bien pero otra no. El mayor problema para los fotones que no tienes para los electrones es que el número de fotones nunca se conserva (mientras que el número de electrones se conserva a baja energía). Entonces, siempre y cuando solo esté usando la "función de onda de un solo fotón"

La otra cosa que distingue a los fotones es que no hay representación de posición, pero de todos modos las representaciones de posición solo son válidas para QM no relativista, por lo que esta falta podría interpretarse como parte de su falta general de QM no relativista de todos modos. Puede obtener una amplitud de probabilidad para detectar destructivamente un fotón en la posición r → , que es proporcional a mi → = ⟨ 0 | mi ^ ( r → , t ) | ψ ⟩ , y esto es análogo a la representación de campo del estado de un fotón de Bialynicki-Birula. En cualquier caso, me parece la interpretación de la no relativista....
... la representación de la posición del estado del electrón es poco clara e incomprensible desde un punto de vista experimental, además de ser una representación coordinada abstracta y particular del estado del electrón, ¿realmente uno se imagina seriamente que haya una medida que alcanzaría un orbital y "encontrar" el electrón?
También podría estar interesado en esta respuesta mía, dado su interés en el trabajo de Bialynicki-Birula.
Me gusta el párrafo final y gracias por el enlace arXiv. Sin embargo, un par de puntos: (1) Como he aclarado ahora, lo que usted llama mi ( r → , t ) no es puramente real. Y el FT solo se usa como ejemplo (difracción de Fraunhofer de campo lejano). (2) Al igual que con cualquier otra discusión aquí, ha ignorado las palabras "algo así como" (ahora cambiado a negrita) delante de "función de onda". No estoy afirmando que sea el tipo de función de onda de QM no relativista (que es una aproximación asintótica, como lo es la mecánica newtoniana en la mecánica clásica).
@ValentinAslanyan mi ( r , t ) es real, pero la representación analítica mi a ( r , t ) es complejo. Las personas suelen ser descuidadas (en lenguaje/notación) y simplemente asumen que el campo y la representación analítica son equivalentes debido a que generalmente son intercambiables. Las fórmulas de difracción que involucran transformadas de Fourier son simplemente soluciones (aproximadas) de la ecuación de onda en términos de las funciones de Green que solo incluyen las soluciones de frecuencia positiva y, por lo tanto, son fórmulas para calcular la propagación de mi a , no mi . Esta es la razón por la que incluso un campo real parece volverse complejo al propagarse.

El significado del complejo. mi es que indica una diferencia de fase. El campo eléctrico es continuo, los fotones son excitaciones de este campo (no piense en ellos como partículas).

Solo puede hablar sobre funciones de onda en la mecánica cuántica, que es una aproximación de una sola partícula de la teoría del campo cuántico completo del campo electromagnético.

Los fotones son excitaciones de A m en la teoría cuántica de campos, no mi → .
Sí, tienes razón, no cambia mi punto.
Entonces, ¿reconoce que hay un error de hecho en su respuesta (que, aunque no afecta el punto general), y no lo corregirá? -1.
No lo corregiré porque no es un error de hecho sino una cuestión de semántica. Podrías cuantificar mi i en lugar de A m , que sería más tedioso (ya que la invariancia de Lorentz de su dinámica no sería directamente obvia). Además, las ecuaciones de Maxwell luego darían lugar a lo que ya sabemos si lo escribes en A metro . Pero llamar al 'fotón' el cuanto del campo 'eléctrico' o 'electromagnético' es tan insignificante como debatir si una función de onda es una función de 'posición' o de 'posición y momento'.

La E sinusoidal para la luz tiene un componente de fase que permite la suma de muchas ondas EM (fotones) para que se pueda calcular un campo E neto. Clásicamente, todos asumieron que el patrón de doble rendija era el resultado de la suma neta de cero y los puntos brillantes en 2 veces E, lo que creo que ahora generalmente se asume que es incorrecto. Las observaciones de múltiples fotones individuales aún dan como resultado el "patrón", pero no debe llamarse patrón de interferencia. El patrón es el resultado de las rutas de fotones disponibles que toman los fotones, los puntos brillantes están bien poblados y los puntos oscuros no.

Las ecuaciones anteriores permiten calcular un patrón de interferencia si se supone que los fotones se dispersan e interfieren y luego se suman. Pero, en mi opinión, lo que se necesita es una fórmula que derive las vías reales. Por ejemplo, tenemos modos de cavidad en los láseres, son el resultado de las dimensiones de la cavidad. La similitud de la rendija, la fuente y la pantalla tienen dimensiones. Tal vez los modos calculados muestren el patrón correcto en la "interferencia" de 2 rendijas (pero no es realmente una interferencia).

¿Cuál es el significado del campo de valor complejo en la difracción?
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