¿Las ecuaciones de Maxwell son invariantes bajo todas las transformaciones lineales?

Las ecuaciones de Maxwell en notación tensorial dicen:

∂ m F m v = j v ∂ [ λ F m v ] = 0

Considere hacer una transformación general de coordenadas X m → X m ′ en la primera ecuación. (NB: todo lo que sigue se aplica también a la segunda ecuación). Escribiendo la ecuación en coordenadas con prima y luego expandiéndola en términos de coordenadas sin prima, encontramos que la ecuación se transforma en:

∂ X λ ∂ X m ′ ∂ 2 X m ′ ∂ X λ ∂ X m ∂ X v ′ ∂ X v F m v + ∂ X λ ∂ X m ′ ∂ X m ′ ∂ X m ∂ 2 X v ′ ∂ X λ ∂ X v F m v + ∂ X λ ∂ X m ′ ∂ X m ′ ∂ X m ∂ X v ′ ∂ X v ∂ ∂ X λ F m v = ∂ X v ′ ∂ X v j v

Una condición suficiente para que la ecuación sea invariante bajo esta transformación es que los dos primeros términos del lado izquierdo desaparezcan, y una condición suficiente para que eso suceda es que:

∂ 2 X m ′ ∂ X λ ∂ X m = 0

Al integrar esta ecuación, encontramos que esta ecuación de Maxwell será invariante bajo una transformación de coordenadas lineales :

X m ′ = METRO     m m ′ X m + a m ′

Aquí, METRO     m m ′ es una matriz constante y a m ′ es un vector constante.

Formalmente, esto es cierto para todas las transformaciones lineales, no solo para las transformaciones de Lorentz. Por supuesto, se puede apelar a la existencia de un campo métrico de Minkowski para restringir METRO     m m ′ ser una matriz de Lorentz. Sin embargo, esto no cambia el hecho de que esta ecuación parece ser formalmente invariante bajo todas las transformaciones lineales. ¡Y no pensé que fuera cierto que las ecuaciones de Maxwell fueran invariantes bajo todas las transformaciones lineales!

Entonces: ¿alguien puede resolverme aquí? ¿Son las dos ecuaciones anteriores realmente invariantes bajo todas las transformaciones lineales, o he cometido un error aquí?

Respuestas (2)

Hay una condición adicional que proviene del tercer término en el lado izquierdo de su ecuación transformada, donde usó lo que parecía ser la regla de la cadena

∂ X λ ∂ X m ′ ∂ X m ′ ∂ X m = d m λ
Sin embargo, en realidad, el posicionamiento no trivial de los componentes del vector covariante y contravariante hace que esta ecuación contenga más que solo la regla de la cadena, y de cara es lo que restringe METRO v m ser una transformación de lorentz.

Sin bajar ni subir, esto nos da el hecho conocido de que la matriz jacobiana es ortogonal. Teniendo en cuenta el posicionamiento del índice, esto nos da la condición

METRO T η METRO = 1
De lo contrario, todos los productos escalares en relatividad general serán invariantes bajo una transformación de coordenadas lineales generales en lugar de una transformación de Lorentz, cuando requiera que la transformación sea global.

  1. Reemplacemos primero el tensor métrico de Minkowski

    η   =   η m v   d X m ⊙ d X v
    con un tensor métrico constante más general
    gramo   =   gramo m v   d X m ⊙ d X v .

  2. Tenga en cuenta que el tensor EM elevado

    F m v   :=   gramo m λ F λ k gramo k v
    depende de la métrica (inversa). Las ecuaciones de Maxwell son covariantes bajo condiciones rígidas GRAMO L ( 4 ) transformaciones si recordamos transformar la métrica (inversa) gramo m v respectivamente.

  3. Por otro lado, si los componentes métricos gramo m v siempre se supone que son iguales a la métrica de Minkowski η m v = d i a gramo ( ± 1 , ∓ 1 , ∓ 1 , ∓ 1 ) , entonces las transformaciones rígidas

    Λ m v = ∂ X ′ m ∂ X v
    deben ser matrices de Lorentz.

  4. Finalmente, mencionemos que es posible escribir ecuaciones de Maxwell en un espacio-tiempo curvo general , de modo que sean covariantes generales.

Nunca he visto la notación. ⊙ . Por qué no ⊗ - ¿La métrica es un tensor, después de todo?
@ACuriousMind: La notación ⊙ (o ∨ ) denota el simetrizado ⊗ producto tensorial de la misma manera que ∧ denota el antisimetrizado ⊗ producto tensorial.
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