¿Cuál es el momento conjugado canónicamente con el espín en QM?

Question

¿Cuál es el momento conjugado canónicamente con el espín en QM?

Física
modelo-ising
modelos giratorios
giro cuántico
conjugación-canónica

derpy

En Phys. de Kopec y Usadel . Rev. Lett. 78.1988 , se introduce un hamiltoniano de vidrio giratorio en la forma:

$H = \frac{Δ}{2} \sum_{i} Π_{i}^{2} - \sum_{i < j} j_{i j} σ_{i} σ_{j},$ $H = \frac{\Delta}{2}\sum_i \Pi^2_i - \sum_{i<j}J_{ij}\sigma_i \sigma_j,$ donde las variables $\sigma_i (i = 1, \ldots, N)$ están asociados con grados de libertad de espín [...] y conjugados canónicamente a los operadores de "momentum" $\Pi_i$ tal que $[\sigma_i, \Pi_j] = i \delta_{ij}$ .

Ahora, estoy acostumbrado a escribir el término "cinético" en un hamiltoniano tipo Ising de campo transversal como $\propto \sum_i \sigma^x_i$ (trabajando en la base estándar de $\{\sigma^z_i\}$ ), por lo que este pasaje me plantea algunas preguntas.

Que son estos $\Pi_i$ operadores? Si $\Pi_i^2 = \sigma^x_i$ , como inicialmente creí, entonces no pueden ser observables, porque el cuadrado de un operador autoadjunto es semidefinido positivo (que $\sigma^x_i$ no es). De hecho, si uno se restringe a la $i$ -th gira y toma $i = j$ , uno puede probar fácilmente que

[σ^{z}, Π] = σ^{z} Π - Π^{†} σ^{z} = i 1

$[\sigma^z, \Pi] = \sigma^z \Pi - \Pi^\dagger \sigma^z = i \mathbb 1$ está satisfecho por

Π = (\begin{matrix} i / 2 & b \\ - \bar{b} & - i / 2 \end{matrix})

$\Pi = \begin{pmatrix}i/2&b\\-\bar{b}&-i/2\end{pmatrix}$ con

b \in C

$b \in \mathbb C$ . Esto se eleva al cuadrado de un múltiplo de la matriz identidad, lo que parece una elección extraña para un término cinético. Siento que me falta algo aquí.

Hablando en términos más generales, ¿se puede incluso definir un impulso "canónicamente conjugado" para $\sigma^z$ , o cualquier otro operador de giro para el caso? Según tengo entendido, en la mecánica clásica, las variables conjugadas con las rotaciones físicas son ángulos, pero esto no se puede transferir a QM de ninguna manera obvia.

ana v

eche un vistazo a JxJy .... relaciones de incertidumbre en.wikipedia.org/wiki/… .

qmecanico

Comentario menor a la publicación (v1): en el futuro, enlace a páginas de resumen en lugar de archivos pdf.

derpy

@Qmechanic Debidamente anotado. Gracias por señalarlo.

Respuestas (2)

¿Cuál es el momento conjugado canónicamente con el espín en QM?

eche un vistazo a JxJy .... relaciones de incertidumbre en.wikipedia.org/wiki/… .
Comentario menor a la publicación (v1): en el futuro, enlace a páginas de resumen en lugar de archivos pdf.

Cosmas Zachos · Answer 1

Aunque el conmutador explícito que escribiste es incorrecto, no deberías haber conjugado $\Pi$ en el segundo término: su conclusión es sólida de que no puede satisfacer la relación de conmutación de Born-Heisenberg con matrices de 2x2.

De hecho, existe un teorema general : el álgebra de Heisenberg no admite representaciones fieles de dimensión finita (matriz) . Por lo tanto, sean cuales sean sus variables, sus variables $\sigma, \Pi$ no son operadores acotados --- y por lo tanto no pueden ser las matrices de 2x2 que está considerando.

Esta observación fue realizada por primera vez por P Jordan, Zeits. F. física 44 1 (1927).

Zhengyan Shi · Answer 2

En primer lugar, hay una razón muy elemental por la que $[\sigma_i,\Pi_j] = i \delta_{ij}$ es imposible para matrices de dimensión finita. Porque esa identidad daría lugar a la siguiente contradicción:

Tr [A, B] = 0 \neq Tr (i \cdot 1) = i \cdot norte

$\text{Tr}[A,B] = 0 \neq \text{Tr} (i \cdot \mathbb{1}) = i \cdot n$ Dónde

A, B

$A,B$ son

n \times n

$n \times n$ matrices.

Sin embargo, si leemos detenidamente el artículo de Kopec y Usadel , notamos una frase clave que no se menciona en la pregunta:

Para capturar la física esencial del problema, consideramos un modelo esférico cuantificado en la red de Bethe dada por el hamiltoniano:
$H = \frac{Δ}{2} \sum_{i} Π_{i}^{2} - \sum_{i, j} j_{i j} σ_{i} σ_{j}$ $H = \frac{\Delta}{2} \sum_i \Pi_i^2 - \sum_{i,j} J_{ij} \sigma_i \sigma_j$

La palabra resaltada "modelo esférico" significa que tenemos la restricción esférica $\sum_i \sigma_i^2 = 1$ en lugar de la restricción de Ising $\sigma_i^2 = 1$ para todos $i$ . Entonces el $\sigma_i$ en este modelo es de hecho un operador de posición restringido que actúa sobre un espacio de Hilbert de dimensión infinita, y una relación de conmutación como $[\sigma_i,\Pi_j] = i \delta_{ij}$ se vuelve concebible.

Sin embargo, tengo una confusión persistente. Cuando considero las restricciones esféricas, estoy acostumbrado a cuantificar los corchetes de Dirac en lugar de los corchetes de Poisson (el corchete de Dirac es una modificación de los corchetes de Poisson, discutidos, por ejemplo, en la sección 7.6 de Weinberg QFT). Usando corchetes de Dirac:

[Π_{i}, σ_{j}] \neq i 1

$[\Pi_i, \sigma_j] \neq i \mathbb{1}$ Entonces, no entiendo muy bien por qué el autor usó la relación de conmutación canónica estándar para cuantificar el sistema. Espero que alguien más aclare este punto.

No citaste lo suficiente del periódico. La siguiente oración aclara su punto: ''ubicado en la red Bethe con coordinación z". Por lo tanto, no se impone una restricción esférica; el $\sigma_j$ acaba de pasar por encima de la celosía. En cambio, se dice unas pocas líneas más adelante, que solo se obliga a reproducir la media de la relación esférica.
@ArnoldNeumaier Gracias por señalarlo. De hecho, no me di cuenta de esta declaración. Sin embargo, esta declaración hace que el documento sea más confuso para mí. Si $\sigma_j$ son variables discretas, entonces la relación de conmutación es imposible. Ahora bien, si tomamos $\sigma_j$ son variables continuas que satisfacen la restricción promediada, entonces no entiendo la ecuación (2) en el documento, que claramente usa una función delta para imponer la restricción esférica exacta. En cualquier caso, no entiendo por qué se nos permite hacer la cuantificación canónica en lugar de la cuantificación de Dirac.
Sí, no hacen lo que dicen y, de hecho, imponen en la integral de trayectoria (2) no la restricción promediada sino la restricción exacta. El uso de la representación integral de la restricción delta introducida después de (3) convierte esto (sin rigor) en una integral sobre una integral de trayectoria del sistema sin restricciones. Esto les permite evaluar la integral de trayectoria utilizando las reglas de conmutación estándar.

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derpy

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