¿Cuál es el límite clásico de la presión del gas ultrarrelativista de Bose?

Esta es la presión de un gas fotónico, y la divergencia se debe a que el número de fotones diverge en el límite clásico, esta es la catástrofe ultravioleta. No obtiene divergencia si mantiene fijo el número de partículas y toma el límite caliente ultrarrelativista, por ejemplo, un plasma relativista de electrones y protones.

Para un gas relativista con un número fijo de partículas, el límite clásico es sensible y la presión clásica es p = nT, al igual que para cualquier otro gas ideal, donde n es la densidad numérica y T es la temperatura termodinámica. Prefiero expresar la ley de los gases ideales como$\beta p = n$, pero lo aprendes en la escuela primaria como PV=NRT.

En primer lugar, cuando decimos que algo es el "límite clásico", no significa que todos los observables interesantes, como la presión, tengan que ser finitos (¿o cero?) en el límite. Simplemente significa que solo mantenemos los términos de orden principal en una expansión en$\hbar$. Entonces, si la presión divergiera, no habría una contradicción directa.

En segundo lugar, que la expresión diverja depende de lo que se mantenga fijo. Mantienes implícitamente$k,T,c$fijado. En las unidades macroscópicas SI, está claro que no sólo$\hbar$pero también la constante de Boltzmann$k$es muy pequeño. Es natural decir que$k$– un puente entre la física microscópica y macroscópica – no se mantiene constante en el límite clásico;$k$te dice la energía por Kelvin por átomo.

En una respuesta que acaba de aparecer, Ron mantiene la densidad numérica$n$(número de partículas por volumen) constante en el límite. También puede escalar$k$con un poder de$\hbar$de modo que, por ejemplo, la constante de los gases$R=kN_A$(el producto de la constante de Boltzmann y la constante de Avogadro) se mantiene constante. En el límite clásico,$N_A$por lo tanto tiende al infinito como$1/k$. Como un mol del gas tiene$p=RT/V$(todos los gases ideales obedecen a eso), y también$p=(kT)^4/(hc)^3$, puedes cancelar dividir cosas para ver$R/V=k(kT/hc)^3$. Si quieres mantener$R/V$constante en el límite, ves que$k^4/h^3$también debe mantenerse constante, por lo que$k$escalas como$h^{3/4}$cual es el oculto$h$-escala que probablemente estabas pidiendo. En esta escala,$p$de acuerdo con su fórmula, obviamente, sigue siendo finito en el límite.

Sin embargo, también existen otras formas de escalar cantidades cuando se define "el" límite clásico. No hay un solo límite clásico en un sistema en el que muchas cosas pueden ir a cero o infinito de varias maneras. Este es un tema común en la física de partículas moderna. Por ejemplo, la teoría de Yang-Mills con el acoplamiento$g$y$N$los colores tiene muchos límites clásicos. Uno puede, por ejemplo, mantener$N$fijo y finito y enviar$g\to 0$que es una especie de$\hbar\to 0$en la teoría de campos, el límite clásico débilmente acoplado. Alternativamente, uno puede mantener$g^2 N$constante y pequeño y enviar a$g\to 0$, mientras$N$va al infinito de la manera apropiada;$g^2 N$es lo que más naturalmente mide cuánto "cuántica" es la teoría. Cuando el acoplamiento 't Hooft$g^2 N$se mantiene fijo pero grande, aparentemente obtenemos un límite "anticlásico", pero este llamado límite de 't Hooft en realidad puede describirse de manera equivalente como (topología líder, diagramas planos de) gravedad (teoría de cuerdas tipo IIB, más precisamente) en un anti de Sitter, que en realidad es otro límite de la teoría gauge original.

Un sistema inherentemente cuántico puede tener muchos límites clásicos.