¿Cuál es el ancho de banda de una convolución imaginaria?

Estoy tratando de averiguar el ancho de banda de F 1 F 2 , dónde F 1 = s i norte C 2 ( 3 t ) y F 2 = s i norte ( 100 t ) . Entonces, cuando tomo la Transformada de Fourier, puedo reescribir la ecuación como tal: F ( ω ) ↔ F 1 ∗ F 2 . Fácil hasta ahora.

Hacia adelante, F 1 = 3 π Δ ( ω / 12 ) , y F 2 = j π d ( ω + 100 ) − j π d ( ω − 100 ) . Aquí es donde me quedo atascado.

Cuando convolucionas cualquier cosa con d ( t + τ ) , simplemente está colocando la función que está convolucionando d ( t + τ ) con el tiempo τ . Al tomar anchos de banda de frecuencias, sé que solo miras el tiempo pasado t = 0 .

En este punto necesito encontrar el ancho de banda de la función − 3 j π Δ ( w − 100 12 ) . Sin que esto esté en el dominio de la frecuencia imaginaria, por ω ≥ 0 no habría ancho de banda (todo es cero o tiene amplitud negativa para esa frecuencia). Sin embargo, estamos en el dominio de la frecuencia imaginaria, entonces, ¿cuál sería el ancho de banda de este filtro?

El gráfico de la transformación es
fourier transform [sinc^2(3t)sin(100t)]
ingrese la descripción de la imagen aquí
(también en wolfram-alpha )

Respuestas (2)

Sin embargo, estamos en el dominio de la frecuencia imaginaria, entonces, ¿cuál sería el ancho de banda de este filtro?

No estoy seguro de por qué tiene dificultades con el hecho de que la señal de dominio de frecuencia es, en este caso, imaginaria. Las simetrías de la transformada de Fourier generalmente se enseñan al principio de los cursos de procesamiento de señales:

  • Si la señal en el dominio del tiempo es real e impar , por ejemplo, pecado ⁡ ω t , la señal de dominio de frecuencia asociada es imaginaria e impar .
  • Si la señal en el dominio del tiempo es real e incluso , por ejemplo, porque ⁡ ω t , la señal de dominio de frecuencia asociada es real e incluso .

Pero, para el cálculo del ancho de banda, le interesa la magnitud en el dominio de la frecuencia (piense en el diagrama de magnitud de Bode ). Dado que su señal de dominio de frecuencia es puramente imaginaria, no podría ser más fácil; simplemente elimine el factor j .

Sin embargo, si su señal en el dominio de la frecuencia fuera compleja , necesitaría multiplicar la función por su conjugada y sacar la raíz cuadrada para encontrar la magnitud.

Esto es lo que estaba buscando. Nuestro profesor no explicó esto muy bien al principio del curso, y esto hace que sea mucho más fácil de entender. ¡Gracias!

Parece haber una ligera confusión en su comprensión de la amplitud, la fase y la frecuencia:

Sin que esto esté en el dominio de la frecuencia imaginaria, por ω ≥ 0 no habría ancho de banda (todo es cero o tiene amplitud negativa para esa frecuencia).

En primer lugar, sus frecuencias no son imaginarias aquí. Su función de dominio de frecuencia F 1 ∗ F 2 tiene valores imaginarios, que podemos ver debido a la j en su fórmula.

En segundo lugar, la amplitud no puede ser negativa (por definición). La amplitud es la magnitud del número complejo que representa la señal a una frecuencia dada. (La fase se define entonces como el ángulo del número complejo).

Teniendo esas cosas en mente, debería ser más fácil encontrar el ancho de banda ahora. Tome la amplitud de la función compleja, que será solo el valor absoluto de su parte imaginaria en este caso. Luego, puede encontrar el ancho de banda observando las frecuencias más bajas y más altas que tienen una amplitud distinta de cero. Por lo que puedo decir, esto es 12 rad/s.

Perdón por el comentario confuso, simplemente estaba diciendo que no hay ancho de banda en el dominio de frecuencia real. Así que si estoy mirando en el positivo ω dirección en el dominio de la frecuencia imaginaria, mi ancho de banda sería 12? ¿Y este ancho de banda de frecuencia imaginario también se puede contar y no se descuenta solo porque es imaginario?
Una cosa que estoy tratando de explicar es que no existe un dominio de frecuencia imaginario. Todas las frecuencias son reales. Lo otro que digo es que el ancho de banda está determinado por la magnitud de la señal, no por su valor real.
Oh, creo que entiendo lo que estás diciendo. Entonces, ¿todo está trazado en un gráfico? Creo que estoy confundido por qué el i está involucrado en el dominio de la frecuencia. También tenía otra pregunta sobre las frecuencias de Nyquist y estas involucradas i ∗ d ( t ) impulsos, y no entiendo la diferencia entre estos y los regulares d ( t ) impulsos
Una señal con la forma a + j b significa que la componente de la señal en el dominio de la frecuencia no es real, es compleja. Eso significa que el componente de la señal en una frecuencia dada tiene un desplazamiento de fase del porque función base.
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