Contradicción entre la oscilación Rabi y los cambios de energía en el efecto AC Stark

En el fondo, las oscilaciones de Rabi y los desdoblamientos de Autler-Townes describen exactamente la misma situación, pero lo hacen desde diferentes perspectivas y rastrean diferentes soluciones de la misma ecuación de Schrödinger. Cuando describe las oscilaciones de Rabi, observa el comportamiento dependiente del tiempo de un estado propio atómico cuando agrega una interacción hamiltoniana a la mezcla; por otro lado, Autler-Townes analiza el mismo problema y decide que solo le importan los estados propios del hamiltoniano total.

(También describen experimentos fundamentalmente diferentes en términos de las escalas de tiempo involucradas para su dispositivo de medición, pero hablaré de eso más adelante).

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Dicho esto, la mención de estados propios instantáneos ha enturbiado un poco las aguas, así que permítanme explorar con más profundidad qué queremos decir exactamente cuando hablamos de estados propios en la perspectiva de Autler-Townes.

Como punto de partida, tomemos la sección correspondiente en Wikipedia , para intentar descomprimirla:

En un marco giratorio apropiado, y haciendo la aproximación de la onda giratoria,$\hat {H}$reduce a

$$\hat {H}=-\hbar \Delta |e\rangle \langle e|+{\frac {\hbar \Omega}{2}}\bigg(|e\rangle \langle g|+|g\rangle \langle e|\bigg). \tag{$*$}$$ Dónde $\Omega$es la frecuencia de Rabi, y $|g\rangle ,|e\rangle$son los estados atómicos desnudos fuertemente acoplados. Los valores propios de energía son $$E_{{\pm }}={\frac {-\hbar \Delta }{2}}\pm {\frac {\hbar {\sqrt {\Omega ^{2}+\Delta ^{2}}}}{2}}$$ y para pequeñas desafinaciones, $$E_{{\pm }}\approx \pm {\frac {\hbar \Omega }{2}}.$$

Todo aquí parece legítimo: la aproximación de onda giratoria (RWA) generalmente está bastante justificada, y esos son de hecho los vectores propios y valores propios relevantes.

La trampa, sin embargo, viene mucho antes:

En un marco giratorio apropiado,

que es de donde puede surgir gran parte de la confusión, en esencia, de un cambio a una imagen de interacción adecuada. Esta configuración significa que cuando estás diagonalizando el hamiltoniano de Autler-Townes$(*)$, sus estados básicos ya codifican mucha información de evolución temporal, porque en relación con los estados propios estáticos$|0\rangle$y$|1\rangle$, los estados básicos del marco giratorio están dados por

$$|g\rangle =|0\rangle \quad\text{and}\quad |e\rangle =e^{-i\omega t}|1\rangle$$ (donde y esto a su vez significa que los estados propios $|\pm\rangle$del hamiltoniano de marco giratorio se puede ver que satisface la propiedad clara de que $\hat H|\pm\rangle = E_\pm |\pm\rangle = \hbar \omega_\pm|\pm\rangle$, pero en un nivel mucho más fundamental, realmente codifican dos soluciones linealmente independientes de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo: $$\begin{align} e^{-i\omega_+ t}|+\rangle &= e^{-i\omega_+ t}\left(A_+|g\rangle + B_+|e\rangle\right) = A_+e^{-i\omega_+ t}|0\rangle + B_+e^{-i(\omega_+ +\omega) t}|1\rangle ,\quad\text{and}\\ e^{-i\omega_- t}|-\rangle &= e^{-i\omega_- t}\left(A_-|g\rangle + B_-|e\rangle\right) = A_+e^{-i\omega_- t}|0\rangle + B_-e^{-i(\omega_- +\omega) t}|1\rangle . \end{align}$$ En el marco giratorio, estos se simplifican en estados propios en evolución, pero es importante tener en cuenta que cuando se ven desde la base original, en realidad son soluciones bastante complicadas.

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Habiendo dicho todo eso, ahora podemos olvidarnos de la base original, porque el formalismo de oscilación Rabi también tiende a trabajarse exactamente desde el mismo marco giratorio que desarrollé anteriormente, así que aceptemos el hecho de que$|e\rangle$contiene alguna dependencia del tiempo oculta como una advertencia, y simplemente sigue adelante.

Ambos problemas, entonces, se relacionan con el hamiltoniano

$$\hat {H}=-\hbar \Delta |e\rangle \langle e|+{\frac {\hbar \Omega}{2}}\bigg(|e\rangle \langle g|+|g\rangle \langle e|\bigg), \tag{$*$}$$ y ahora podemos exponer las diferencias entre ellos de manera bastante simple: el formalismo de Rabi-oscilaciones tiende a buscar soluciones de la forma $$i\partial_t |\psi(t)\rangle = \hat H |\psi(t)\rangle, \quad \text{under }|\psi(0)\rangle = |g\rangle,$$ mientras que Autler-Townes solo resuelve para $$\hat H|\pm\rangle = \hbar \omega_\pm|\pm\rangle.$$ Y, debido a que esencialmente solo difieren por un cambio de base con respecto a qué par de soluciones rastrean, obviamente puede expresar las soluciones del problema de Rabi como una superposición de estados propios de Autler-Townes, $$|\psi(t)\rangle = \frac{1}{A_+B_--A_-B_+}\bigg( e^{-i\omega_+t}B_-|+\rangle - e^{-i\omega_-t}B_+|-\rangle \bigg),$$ y como la fase relativa $e^{-i(\omega_+-\omega_-)t}$entre esos dos estados propios evoluciona, $|\psi(t)\rangle$pasa de estar junto $|g\rangle$a tener un componente tan grande a lo largo $|e\rangle$como $|+\rangle$hace.

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En la práctica, si está buscando oscilaciones de Rabi, normalmente tiene alguna forma de medir la población en base atómica, y normalmente necesita que sea más rápido que la escala de tiempo de oscilación de Rabi.$\sqrt{\Delta^2+\Omega^2} \geq \Omega$.

Por el contrario, los cambios de Autler-Townes normalmente aparecen si está midiendo el espectro de absorción (o similar) mientras investiga las transiciones desde algún estado adicional$|a\rangle$en alguna otra región espectral, y esto normalmente requiere que la longitud de la sonda sea más larga que el período de Rabi: resolver la división de Autler-Townes requiere una resolución de frecuencia menor que

$$\omega_+-\omega_- = \sqrt{\Delta^2+\Omega^2}$$ y esto solo se puede hacer si su sonda dura más que el período Rabi. Como puede ver, las observaciones reales de las divisiones de Autler-Townes y de las oscilaciones de Rabi describen formas fundamentalmente incompatibles de medir la función de onda.

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Bien, finalmente, y solo porque puedo, incluiré aquí un complemento desvergonzado del hecho de que las divisiones de Autler-Townes ahora son esencialmente medibles en tiempo real, con las divisiones que aparecen y desaparecen a medida que el pulso de luz se fortalece y luego decae, en comparación con el pulso que usa para observar la absorción, ahora puede pensar en medir cosas que se ven así,

donde está viendo (una simulación numérica de) la división inducida por un$\lesssim 10$-pulso de ciclo largo de IR cercano, sondeado por un pulso de ultravioleta extremo de banda ancha que es mucho más corto que el período del IR (sí, eso es algo que puede hacer y medir), escaneando un retraso entre los dos pulsos.

Este es un campo en crecimiento, conocido como espectroscopia de absorción transitoria de attosegundos , y hay mucho que podemos decir en este momento y aún más que podremos decir en los próximos años en términos de cómo crecen y crecen cosas como las divisiones de Autler-Townes. desarrollarse en las escalas de tiempo naturales de los átomos.

La imagen es, por supuesto, más complicada (y, por ejemplo, parece, en la imagen de arriba, que el RWA podría no funcionar en absoluto, incluso en regímenes donde la división está en los regímenes ópticos (!)), así que lo dejaré para seguir leyendo el periódico de donde provino esa figura,

• Transmisión de un pulso de attosegundo aislado en un átomo vestido de campo fuerte AN Pfeiffer y SR Leone. física Rev. A 85 , 053422 (2012) .

y un segundo artículo en la misma línea,

• Perspectiva en el dominio del tiempo sobre la división de Autler-Townes en la absorción transitoria de attosegundos de átomos de helio vestidos con láser. M Wu et al. física Rev. A 88 , 043416 (2013) .

Ambas formas de descripción son equivalentes e igualmente válidas, pero una puede ser más conveniente en ciertas situaciones. Se pueden usar funciones propias de funciones independientes del tiempo$H_0$o funciones propias de dependientes del tiempo$H(t)$, ya que ambos son autoadjuntos y tienen un conjunto completo de funciones propias. La elección suele depender de la frecuencia del campo externo.

Los cambios de nivel debidos a un campo externo se consideran cuando el campo externo cambia lo suficientemente lento (p. ej., frecuencias de microondas) para que uno pueda probar esos cambios de nivel con otra radiación de frecuencias más altas (óptica, UV).

Matemáticamente, esto está respaldado por el hecho de que si no hay otra perturbación externa, el$\psi$función puede expresarse con buena precisión como suma

$$\psi(t) = \sum_m a_m \Phi_m(t)$$ donde coeficientes $a_m$son constantes en el tiempo y $\Phi_m(t)$son funciones propias del hamiltoniano total: $$H(t)\Phi_m(t) = E_m(t) \Phi_m(t).$$ Los valores propios $E_m$cambio en el tiempo que se puede describir como cambios en los niveles de energía.

Si el campo externo cambia demasiado rápido (frecuencia comparable a la frecuencia de resonancia$(E_1-E_0)/\hbar$o superior), la aproximación de tiempo independiente$a_m$ya no es precisa y tanto las funciones propias como los coeficientes cambian con el tiempo. En tal caso, es más habitual expresar la$\psi$funcionan como

$$\psi(t) = \sum_m c_m(t) \Phi^{0}_m$$

dónde$\Phi^0_m$son funciones propias del hamuiltoniano principal independiente del tiempo:

$$H_0\Phi^0_m = E^0_m \Phi^0_m.$$ Entonces, tanto las funciones propias como los valores propios están fijos en el tiempo y la independencia temporal se puede mantener, sin pérdida de generalidad, solo en los coeficientes $c_m$.