¿Constante gravitacional en dimensiones superiores?

De hecho, existe una forma estándar de definir la constante gravitatoria en dimensiones superiores. Razonamos de la siguiente manera:

Podríamos tratar de generalizar la fórmula de la fuerza gravitacional dada por la Ley de la Gravitación de Newton como escribiste anteriormente, pero esto no lleva a una generalización natural porque no está claro cómo el poder de$r$debe generalizarse a dimensiones superiores. Por otro lado, podemos reescribir esta ley en forma de ecuación de Poisson:

$$\begin{align} \Delta \Phi = 4\pi G \rho. \end{align}$$ Dónde $\Delta$es el laplaciano tridimensional, $\Phi$es el potencial gravitacional y $\rho$es la densidad de masa. Ahora, para generalizar a dimensiones superiores, simplemente afirmamos que la ecuación de Poisson todavía describe la gravitación newtoniana en dimensiones superiores. Esto puede ser motivado tomando la relatividad general en dimensiones más altas y luego tomando el límite de campo débil. Luego, la constante gravitacional se define mediante la ecuación de Poisson de dimensiones superiores; $$\begin{align} \Delta^{(D-1)}\Phi^{(D)} = 4\pi G^{(D)}\rho^{(D)} \end{align}$$ Mi notación aquí es que $D$es el número de dimensiones del espacio-tiempo , entonces $G^{(4)}$es la constante gravitatoria estándar. En particular, escribo $\Delta^{(D-1)}$enfatizar que solo hay derivadas espaciales en el laplaciano; $$\begin{align} \Delta^{(D-1)} = \partial_1^2 + \cdots + \partial_{D-1}^2. \end{align}$$

El laplaciano tiene unidades de uno sobre la longitud al cuadrado en todas las dimensiones, y$\Phi^{(D)}$tiene unidades de energía sobre masa en todas las dimensiones, por lo que las unidades del lado izquierdo son invariantes de dimensión. Esto significa que las unidades del lado derecho también deben ser invariantes en cuanto a dimensión;

$$\begin{align} [G^{(4)}\rho^{(4)}] = [G^{(D)}\rho^{(D)}] \end{align}$$ Pero las unidades de $\rho^{(D)}$son masa por unidad de volumen espacial, $M/L^{D-1}$en cualquier dimensión espaciotemporal $D$, por lo que obtenemos la siguiente relación entre el $D$- constante gravitatoria dimensional y la $4$-constante gravitacional dimensional: $$\begin{align} [G^{(D)}] = [G^{(4)}]\frac{[\rho^{(4)}]}{[\rho^{(D)}]} =[G^{(4)}]\frac{ML^{D-1}}{ML^3} = [G^{(4)}]L^{D-4}. \end{align}$$ Así, por ejemplo, la constante gravitatoria en $5$Las dimensiones del espacio-tiempo tienen unidades de longitud por la constante gravitatoria en $4$dimensiones del espacio-tiempo.

Hay una buena discusión de esto con más detalle en la sección 3.8 de

Un primer curso de teoría de cuerdas , Zwiebach (2ª ed.)

Zwiebach también tiene una discusión sobre cómo el valor numérico de$G$cambia cuando agrega dimensiones espaciales extra compactas. Por ejemplo, demuestra que con una dimensión extra compacta de longitud$\ell_C$, la constante gravitacional de cinco dimensiones se convierte en

$$\begin{align} G^{(5)} = \ell_C G^{(4)} \end{align}$$ En términos generales, el valor de la constante gravitatoria en dimensiones superiores depende del tamaño de estas dimensiones extra (compactas). Si las dimensiones adicionales no son compactas, no estoy exactamente seguro de cómo se procedería porque se necesita una escala de longitud característica adicional para cada dimensión adicional.