¿Cómo explica la teoría de supercuerdas la ley de la gravedad del inverso del cuadrado, dado que requiere 9 dimensiones espaciales?

Question

¿Cómo explica la teoría de supercuerdas la ley de la gravedad del inverso del cuadrado, dado que requiere 9 dimensiones espaciales?

gravedad
Física
Ley de Gauss
teoria de las cuerdas
compactación
espacio-tiempo-dimensiones

Gravitón

En la teoría de supercuerdas, la dimensión del espacio-tiempo es 10, una de ellas es el tiempo, el resto son dimensiones espaciales.

Pero basándonos en un argumento geométrico, podemos decir que $F\propto r^{1-D}$ , dónde $D$ es la dimensión del espacio . Eso significa que si las dimensiones espaciales son más que $10$ de acuerdo con la teoría de cuerdas, entonces la gravedad decaerá como $F\propto r^{-9}$ o más.

He leído la descripción de cómo lo maneja superstring aquí :

La teoría de cuerdas y supercuerdas (realmente, la teoría M, consulte http://en.wikipedia.org/wiki/M-theory y http://en.wikipedia.org/wiki/String_theory#Extra_dimensions ), requieren un mínimo de 9 dimensiones espaciales. Si esas, o algunas de ellas, son de grandes dimensiones, entonces la debilidad de la gravedad podría explicarse, y luego, si observamos distancias cada vez más pequeñas, la gravedad es (relativamente) más fuerte. También es una de las razones por las que se intenta medir la fuerza de la gravedad a distancias cada vez más pequeñas, para ver si no funciona como $1/r^2$ . Hasta ahora, como dije anteriormente, solo se ha reducido a aproximadamente 1 milímetro y no se ha encontrado nada extraño.

La teoría de cuerdas dice principalmente (porque se pensaba que las cuerdas que causan la gravedad podían extenderse en todas las dimensiones, mientras que las fuerzas normales como las cuerdas nucleares y electromagnéticas están obligadas a moverse en nuestra brana 3D) que la gravedad se propaga en las 10 dimensiones espaciales. La Teoría de Cuerdas también asumió que las otras dimensiones son pequeñas, microscópicas y no podemos verlas. Luego necesitas calcular cuánto diluye la gravedad. Pero algunos desarrollos de la Teoría de Cuerdas asumen 1 o más dimensiones extra grandes, y luego se diluye (y se vuelve relativamente más fuerte en el dominio mucho más pequeño).

Mi pregunta es cómo puede ser posible que la gravedad varíe como $F\propto r^{-8}$ a corta distancia pero $F\propto r^{-2}$ a gran distancia? Debe haber en algún punto donde estos dos se encuentran, y en esos puntos, los valores de las fuerzas gravitacionales no son únicos (y no continuos), ¿cómo puede ser esto? ¿Cómo explica esto la teoría de cuerdas (o cualquier otra teoría)?

Juan Rennie

Si la transición a

r^{- 9}

$r^{-9}$ el comportamiento ocurre en la escala de la cuerda, la gravedad probablemente no esté bien descrita por una teoría clásica de todos modos. Si sucede a una escala mayor, habrá un cambio suave y continuo en el

r

$r$ dependencia. De cualquier manera, no estoy seguro de ver por qué hay un problema.

Gravitón

@JohnRennie, no dije que debe ser un problema, pero estoy interesado en ver cómo se puede responder eso.

una mente curiosa

Elija una compactación adecuada con pequeñas dimensiones adicionales, vaya a la teoría 4D efectiva y ahí está su ley del cuadrado inverso.

Gravitón

@ACuriousMind, ¿le gustaría expandir su comentario en una respuesta completa?

una mente curiosa

Lo haré cuando no esté en el móvil.

Respuestas (4)

¿Cómo explica la teoría de supercuerdas la ley de la gravedad del inverso del cuadrado, dado que requiere 9 dimensiones espaciales?

Si la transición a $r^{-9}$ el comportamiento ocurre en la escala de la cuerda, la gravedad probablemente no esté bien descrita por una teoría clásica de todos modos. Si sucede a una escala mayor, habrá un cambio suave y continuo en el $r$ dependencia. De cualquier manera, no estoy seguro de ver por qué hay un problema.
@JohnRennie, no dije que debe ser un problema, pero estoy interesado en ver cómo se puede responder eso.
Elija una compactación adecuada con pequeñas dimensiones adicionales, vaya a la teoría 4D efectiva y ahí está su ley del cuadrado inverso.
@ACuriousMind, ¿le gustaría expandir su comentario en una respuesta completa?

sergei patiakin · Answer 1

Considere una variedad con 3 dimensiones espaciales macroscópicas y 6 dimensiones espaciales adicionales que se enrollan en una escala de longitud $l$ . Intentemos aplicar la ley de Gauss para una hipersuperficie cerrada de tamaño espacial $r$ alrededor de una masa puntual, donde $r<<l$ .

Entonces, el interior de la hipersuperficie gaussiana parece un espacio euclidiano de 10 dimensiones, por lo que el "área" de la hipersuperficie es proporcional a $r^{9}$ .

Por simetría, el campo es isotrópico (igual en todas las direcciones). Claro, hay direcciones espaciales macrosópicas y direcciones enrolladas, pero la escala enrollada $l$ es mucho más grande que nuestra hipersuperficie, por lo que esta distinción no debería importar. Ahora la ley de Gauss nos dice que el flujo total no depende de r, por lo que concluimos que la intensidad del campo es proporcional $r^{-9}$ .

Tenga en cuenta que hemos hecho dos aproximaciones. ¿Los localizaste?

El área de la hipersuperficie es proporcional a $r^{9}$ .
El argumento de simetría/isotropía, que afirma que no hay diferencia entre un desplazamiento $r$ a lo largo de la dirección macroscópica y un desplazamiento $r$ en la dirección enrollada

Estas aproximaciones son buenas para $r << l$ . Pero como $r$ aumenta, se vuelven cada vez más inexactos. Ambas aproximaciones se rompen cuando $r \sim l$ . Así nuestro resultado $F \propto r^{-9}$ es sólo una aproximación válida en $r << l$ . Por un argumento similar, la relación $F \propto r^{-2}$ es sólo una aproximación válida para $r >> l$ .

El quid de su pregunta es qué sucede cuando $r \sim l$ . Bueno, para estas distancias, ninguna de las dos leyes de potencia sería precisa. Veríamos una transición gradual entre los dos.

qmecanico · Answer 2

La pregunta de OP genera al menos otras dos preguntas relacionadas (que no abordaremos):

¿Cómo surge GR de la teoría de cuerdas ? Consulte, por ejemplo , esta publicación de Phys.SE y los enlaces que contiene.
¿Cómo surgen la ley gravitatoria de Newton y la ley gravitacional de Gauss de GR? Consulte, por ejemplo , esta publicación de Phys.SE y los enlaces que contiene.

En esta respuesta solo mencionaremos que de acuerdo con la teoría convencional de supercuerdas , el espacio objetivo de 9+1 dimensiones $M^{10}=M^4\times K^6$ se cree que es un producto de

un espacio-tiempo macroscópico de 3+1 dimensiones $M^4$ , y
un espacio compacto de 6 dimensiones $K^6$ de tamaño demasiado pequeño para ser detectado actualmente,

cf. comentario anterior de ACuriousMind.

El argumento de la ley de Gauss de la pregunta Phys.SE anterior de OP todavía se aplica:

Si la superficie gaussiana es más grande que la escala de compactación, solo intersectará las grandes dimensiones del espacio, y obtenemos el conocido $1/r^2$ Ley de la fuerza gravitatoria de Newton .
A escalas más pequeñas que la escala de compactación, la gravedad puede filtrarse en más direcciones, y la fuerza gravitatoria obtiene otra $r$ -dependencia.

Michael Seifert · Answer 3

Las respuestas ya dadas hacen un gran trabajo al explicar cualitativamente cómo podemos pasar de $r^{-2}$ dependencia a $r^{-(D-1)}$ dependencia en un $D$ -espacio dimensional. Pero pensé que también incluiría un argumento cuantitativo para mostrar cómo funciona la transición en detalle para un ejemplo "simple".

Primero, veamos cómo esperaríamos que el potencial gravitatorio $\Phi$ comportarse si hubiera cuatro dimensiones espaciales. Si todavía obedece a una versión de la Ley de Gauss, esperaríamos que obedezca a una versión de la ecuación de Poisson tal como lo hace en 3D:

\nabla^{2} Φ = {GRAMO}_{4} ρ .

$\nabla^2 \Phi = G_4 \rho.$ (El constante

G_{4}

$G_4$ aquí está la versión de 4 dimensiones de la constante de Newton; veremos más adelante cómo se relaciona con la versión 3D). Si tenemos una masa puntual

m

$m$ sentado en el origen en 4 dimensiones espaciales, esto es bastante fácil de resolver usando la Ley de Gauss; y la respuesta resulta ser

Φ = - \frac{{GRAMO}_{4} metro}{4 π^{2} r^{2}} = - \frac{{GRAMO}_{4} metro}{4 π^{2}} \frac{1}{X^{2} + y^{2} + z^{2} + w^{2}} .

$\Phi = - \frac{G_4 m}{4 \pi^2 r^2} =-\frac{G_4 m}{4 \pi^2} \frac{1}{x^2 + y^2 + z^2 + w^2}.$ (Si quieres probar esto, necesitarás saber que el área de la superficie de una hiperesfera de radio

r

$r$ en 4-D es

2 π^{2} r^{3}

$2 \pi^2 r^3$ .)

¿Cómo cambia esto cuando "compactamos" una dimensión? Bueno, imaginemos que estamos en un espacio 4-D, con coordenadas $w, x, y, z$ ; y el $w$ se enrolla la coordenada, de modo que si recorremos una distancia $d$ en el $w$ -dirección, volvemos a donde empezamos. Esto significa que si hubiera una masa en el "origen" $(w,x,y,z) = (0,0,0,0)$ , también podríamos "ver" esta masa en el punto $(w,x,y,z) = (d,0,0,0)$ , o $(w,x,y,z) = (2d,0,0,0)$ , o $(w,x,y,z) = (-d,0,0,0)$ , o de hecho en cualquier punto de la forma $(w,x,y,z) = (nd,0,0,0)$ para cualquier $n \in \mathbb{Z}$ . Por lo tanto, el potencial gravitacional total de todas estas fuentes puntuales sería

Φ = - \frac{{GRAMO}_{4} metro}{4 π^{2}} \sum_{norte = - \infty}^{\infty} \frac{1}{X^{2} + y^{2} + z^{2} + (w - norte d)^{2}} = - \frac{{GRAMO}_{4} metro}{4 π^{2}} \sum_{norte = - \infty}^{\infty} \frac{1}{r_{3}^{2} + (w - norte d)^{2}},

$\Phi = - \frac{G_4 m}{4 \pi^2} \sum_{n = -\infty}^\infty \frac{1}{x^2 + y^2 + z^2 + (w - nd)^2} = - \frac{G_4 m}{4 \pi^2} \sum_{n = -\infty}^\infty \frac{1}{r_3^2 + (w - nd)^2},$ dónde

r_{3} = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}

$r_3 = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ es la distancia al origen en las dimensiones "no laminadas".

Esto no parece habernos ayudado mucho, pero resulta que esta expresión se puede resumir exactamente y es igual a

Φ (X, y, z, w) = - \frac{{GRAMO}_{4} metro}{4 π d r_{3}} \frac{pecado \frac{2 π r_{3}}{d}}{aporrear \frac{2 π r_{3}}{d} - porque \frac{2 π w}{d}} .

$\Phi(x,y,z,w) = - \frac{G_4 m}{4 \pi d r_3} \frac{ \sinh \frac{2\pi r_3}{d} }{\cosh \frac{2\pi r_3}{d} - \cos \frac{2\pi w}{d} }.$ Entonces podemos mirar los límites cuando

r_{3}

$r_3$ es mucho mayor que o mucho menor que

d

$d$ . En el caso de

r_{3} ≫ d

$r_3 \gg d$ , tenemos

\cosh (2 π r_{3} / d) ≫ 1

$\cosh (2 \pi r_3/d) \gg 1$ , por lo que el denominador está dominado por el término del coseno hiperbólico. Esto luego se simplifica a

Φ (X, y, z, w) \approx - \frac{{GRAMO}_{4} metro}{4 π d r_{3}} bronceado (\frac{2 π r_{3}}{d}) \approx - \frac{{GRAMO}_{4} metro}{4 π d} \frac{1}{r_{3}}

$\Phi(x,y,z,w) \approx - \frac{G_4 m}{4 \pi d r_3} \tanh \left(\frac{2\pi r_3}{d} \right) \approx - \frac{G_4 m}{4 \pi d}\frac{1}{ r_3}$ desde

\tanh x \to 1

$\tanh x \to 1$ como

x \to \infty

$x \to \infty$ . Así, cuando estamos mirando distancias que son mucho mayores que la escala

d

$d$ de la dimensión "enrollada", terminamos con el familiar

1 / r

$1/r$ dependencia del potencial gravitacional. La constante gravitacional 4-D

G_{4}

$G_4$ se puede ver que está relacionado con la constante gravitacional tridimensional

G_{3}

$G_3$ por

{GRAMO}_{3} = \frac{{GRAMO}_{4}}{4 π d} .

$G_3 = \frac{G_4}{4 \pi d}.$

Por otro lado, si estamos mirando distancias donde $r_3 \ll d$ y $w \ll d$ (es decir, la distancia a la masa es mucho menor que la escala de la dimensión enrollada), entonces tenemos $\sinh (2 \pi r_3/d) \approx 2 \pi r_3/d$ , $\cosh (2 \pi r_3/d) \approx 1 + \frac{1}{2} (2 \pi r_3/d)^2$ y $\cos (2 \pi w/d) \approx 1 - \frac{1}{2} (2 \pi w/d)^2$ . Reemplazando estas aproximaciones anteriores, obtenemos

Φ (X, y, z, w) \approx - \frac{{GRAMO}_{4} metro}{4 π d r_{3}} \frac{2 π r_{3} / d}{\frac{1}{2} {(\frac{2 π}{d})}^{2} (r_{3}^{2} + w^{2})} = - \frac{{GRAMO}_{4} metro}{4 π^{2}} \frac{1}{r_{3}^{2} + w^{2}} .

$\Phi(x,y,z,w) \approx - \frac{G_4 m}{4 \pi d r_3} \frac{ 2 \pi r_3/d }{\frac{1}{2} \left( \frac{2 \pi}{d} \right)^2( r_3^2 + w^2) } = - \frac{G_4 m}{4 \pi^2} \frac{1}{r_3^2 + w^2}.$ Entonces vemos que cuando estamos mirando escalas mucho más cercanas que el tamaño de la dimensión enrollada, recuperamos el

1 / r^{2}

$1/r^2$ dependencia de

Φ

$\Phi$ que esperaríamos en cuatro dimensiones "desenrolladas".

Si tienes curiosidad, así es como se ve el potencial en función de $r_3$ y $w$ , con $d = 1$ :

Tenga en cuenta que los puntos $w = -1/2$ y $w = 1/2$ son el mismo punto en el espacio. También podemos hacer un gráfico logarítmico de $|\Phi(r_3,0)|$ para examinar cómo se comporta el potencial tanto a distancias cortas como largas:

Se puede ver bastante claramente que la pendiente de este gráfico va de $-2$ cuando $r_3 \ll d = 1$ (correspondiente a un $r^{-2}$ ley de potencia) a una pendiente de $-1$ cuando $r_3 \gg d = 1$ (correspondiente a un $r^{-1}$ ley de potencia.)

Deschele Schilder · Answer 4

Dada la pequeñez de las dimensiones adicionales, la gravitación no llega muy lejos a través de esas dimensiones para hacer que la ley de Newton a escalas observables dependa de $\frac 1 {r^8}$ . Sin embargo, la teoría de cuerdas conjetura una dimensión extra "grande" (del orden de 1 (mm)) a través de la cual la gravedad puede viajar, pero las tres fuerzas básicas no. Esto significa que la ley de la gravedad de Newton es proporcional a $\frac 1 {r^3}$ y la gravitación (por debajo de una distancia del orden de 1 (mm)) es cada vez mayor (cuanto menor $r$ ) que en el $\frac1 {r^2}$ dependencia Pero las mediciones de la gravedad a distancias muy pequeñas no han visto esto. $\frac 1 {r^3}$ comportamiento y tampoco se han visto mini agujeros negros (la longitud de Planck se reduce por este mecanismo) en experimentos de colisión.

¿Cómo explica la teoría de supercuerdas la ley de la gravedad del inverso del cuadrado, dado que requiere 9 dimensiones espaciales?

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Deschele Schilder

¿Constante gravitacional en dimensiones superiores?

¿Por qué (en términos relativamente no técnicos) se favorecen las variedades de Calabi-Yau para las dimensiones compactadas en la teoría de cuerdas?

¿Cómo imaginar dimensiones superiores?

¿Por qué son necesarias las dimensiones adicionales?

¿Por qué la compactación está restringida a los toroides, Calabi-Yau et al?

En la teoría de cuerdas, ¿por qué las dimensiones "extra" son súper compactas?

¿Cómo se hacen exactamente las compactaciones de Calabi-Yau?

Ecuación de gravedad newtoniana en un mundo bidimensional [duplicado]

Compactación de dimensiones en teoría de cuerdas: ¿Por qué nuestro Universo tiene 3 grandes dimensiones espaciales?

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