Conservación del momento lineal y angular

Question

Conservación del momento lineal y angular

usuario1225999

Supongamos que tengo dos cuerpos rígidos A y B y están conectados por un resorte que está unido fuera del centro (lo que posiblemente cause pares). Debido al resorte una fuerza $f$ actúa sobre A y una fuerza $-f$ actúa sobre B (en los respectivos puntos de unión) en la dirección del resorte como en la Fig. 1. ¿Cómo puedo mostrar la conservación del momento? $\frac{\rm d}{\rm dt} p_A + p_B = 0$ (dónde $p_A$ y $p_B$ son los momentos lineales de A y B respectivamente) falta la parte angular y $\frac{\rm d}{\rm dt} p_A + p_B + L_A + L_B = 0$ (dónde $L_A$ y $L_B$ son los momentos angulares de A y B alrededor de su centro de masas respectivamente) parece estar equivocado. Es $\frac{\rm d}{\rm dt} p_A + p_B + L_A^0 + L_B^0 = 0$ (dónde $L_A^0$ y $L_B^0$ ¿Son los momentos angulares de A y B alrededor del origen respectivamente) el ansatz correcto?

¿Qué pasa si las fuerzas son opuestas pero no en la dirección del resorte como en la Fig. 2?

Fig. 1: Fuerzas opuestas a lo largo de la línea entre los puntos donde actúan las fuerzas.

Fig. 2: Fuerzas opuestas pero *no* a lo largo de la línea entre los puntos donde actúan las fuerzas.

Fig. 2: Fuerzas opuestas pero no a lo largo de la línea entre los puntos donde actúan las fuerzas.

usuario1225999

Dado que el momento lineal y angular tienen diferentes unidades, el ansatz anterior es ciertamente incorrecto. Lo más probable es que los momentos lineales y angulares se conserven por separado:

\frac{d}{d t} p_{A} + p_{B} = 0

$\frac{\rm d}{\rm dt}p_A + p_B = 0$ y

\frac{d}{d t} L_{A}^{0} + L_{B}^{0} = 0

$\frac{\rm d}{\rm dt}L_A^0 + L_B^0 = 0$ .

usuario1225999

La conservación del momento lineal para el caso 1 es

\frac{d}{d t} p_{A} + p_{B} = f_{A} + f_{B} = f - f = 0

$\frac{\rm d}{\rm dt} p_A + p_B = f_A + f_B = f - f = 0$ y la conservación del momento angular es

\frac{d}{d t} L_{A}^{0} + L_{B}^{0} = \frac{d}{d t} L_{A} + L_{B} + x_{A} \times p_{A} + x_{B} \times p_{B} = τ_{A} + τ_{B} + x_{A} \times f_{A} + x_{B} \times f_{B} = r_{A} \times f - r_{B} \times f + x_{A} \times f - x_{B} \times f = (x_{A} + r_{A} - x_{B} - r_{B}) \times f = 0

$\frac{\rm d}{\rm dt} L_A^0 + L_B^0 = \frac{\rm d}{\rm dt} L_A + L_B + x_A \times p_A + x_B \times p_B = \tau_A + \tau_B + x_A \times f_A + x_B \times f_B = r_A \times f - r_B \times f + x_A \times f - x_B \times f = (x_A + r_A - x_B - r_B) \times f = 0$

usuario1225999

Sin embargo, para el segundo caso

x_{A} + r_{A} - x_{B} - r_{B}

$x_A + r_A - x_B - r_B$ no es paralelo

f

$f$ y por lo tanto parece que el momento angular no se conserva.

Respuestas (3)

Conservación del momento lineal y angular

Dado que el momento lineal y angular tienen diferentes unidades, el ansatz anterior es ciertamente incorrecto. Lo más probable es que los momentos lineales y angulares se conserven por separado: $\frac{\rm d}{\rm dt}p_A + p_B = 0$ y $\frac{\rm d}{\rm dt}L_A^0 + L_B^0 = 0$ .
La conservación del momento lineal para el caso 1 es $\frac{\rm d}{\rm dt} p_A + p_B = f_A + f_B = f - f = 0$ y la conservación del momento angular es $\frac{\rm d}{\rm dt} L_A^0 + L_B^0 = \frac{\rm d}{\rm dt} L_A + L_B + x_A \times p_A + x_B \times p_B = \tau_A + \tau_B + x_A \times f_A + x_B \times f_B = r_A \times f - r_B \times f + x_A \times f - x_B \times f = (x_A + r_A - x_B - r_B) \times f = 0$
Sin embargo, para el segundo caso $x_A + r_A - x_B - r_B$ no es paralelo $f$ y por lo tanto parece que el momento angular no se conserva.

AdamRedwine · Answer 1

El momento angular y lineal de las dos masas A y B no necesariamente se conservan individualmente; es la cantidad de movimiento del sistema $S_{AB}$ que se conserva. Si conoce las condiciones del sistema en un momento determinado $t$ , dibuje un diagrama de cuerpo libre y calcule los impulsos para el sistema. Sabiendo que estos valores se conservan, puede usarlos como condiciones para ayudarlo a resolver las fuerzas en el sistema en cualquier otro momento.

dariop · Answer 2

Para probar la conservación de las cantidades, debe poder calcular el movimiento del sistema para que pueda calcular directamente estas cantidades a partir de las coordenadas dependientes del tiempo y verificar que no cambien con el tiempo.

Sin embargo, no creo que el movimiento de este sistema sea integrable: parece un oscilador múltiple y es muy propenso a desarrollar un movimiento caótico (como un péndulo doble ), por lo que me temo que la conservación de los momentos tiene que ser ficticio.

Si solo estabas buscando una manera de escribirlo, te sugiero:

{\begin{cases} \frac{d}{d t} ({pag}_{A} + {pag}_{B}) = 0 \\ \frac{d}{d t} (L_{A} + L_{B} + L_{A}^{0} + L_{B}^{0}) = 0 \end{cases}

$\left\{\begin{array}{l} \frac{\rm d}{\rm dt}\Big( p_A + p_B \Big)= 0\\ \frac{\rm d}{\rm dt}\Big( L_A+L_B + L_A^0 + L_B^0 \Big)= 0 \end{array}\right.$

que debe tener en cuenta todos los posibles movimientos de los componentes del sistema. Puedes tomar $L_A^0$ y $L_B^0$ respecto al centro de masa o cualquier otro punto fijo externo.

Finalmente, tengo un comentario sobre la figura 2, que no representa un caso físico completo razonable. ¡Esas dos fuerzas desalineadas están produciendo un par de la nada dentro del sistema! No debería poder encontrar tal caso en la naturaleza.

usuario1225999 · Answer 3

El momento angular $L_{A/B}$ de un cuerpo rígido $A/B$ sobre su centro de masa es

L_{A / B} = I_{A / B} ω_{A / B},

$L_{A/B} = I_{A/B} \omega_{A/B},$

dónde $I_{A/B}$ es la matriz de inercia de $A/B$ sobre su centro de masa en el marco del mundo y $\omega_{A/B}$ es la velocidad angular de $A/B$ . El momento angular $L_{A/B}^0$ de un cuerpo rígido $A/B$ sobre el origen del marco del mundo es

L_{A / B}^{0} = L_{A / B} + X_{A / B} \times {pag}_{A / B},

$L_{A/B}^0 = L_{A/B} + x_{A/B} \times p_{A/B},$

dónde $x_{A/B}$ son las coordenadas del centro de masa en el marco universal. Entonces el momento angular total en el sistema con los cuerpos rígidos $A$ y $B$ sobre el origen del marco del mundo es $L_{total}^0 = L_A^0 + L_B^0$ , que supuestamente se conserva. El momento lineal total es $p_{total} = p_A + p_B$ .

El momento lineal total se conserva tan pronto como las fuerzas $f_A$ y $f_B$ son de igual magnitud y dirección opuesta ( $f_A = f = -f_B$ ):

\frac{d}{d t} ({pag}_{A} + {pag}_{B}) = {metro}_{A} {\dot{v}}_{A} + {metro}_{B} {\dot{v}}_{B} = F_{A} + F_{B} = F - F = 0,

$\frac{\mathrm d}{\mathrm{d}t} ( p_A + p_B ) = m_A \dot{v}_A + m_B \dot{v}_B = f_A + f_B = f - f = 0,$

dónde $v_{A/B}$ es la velocidad de traslación de $A/B$ en el marco del mundo. La derivada del momento angular total con respecto al tiempo es

\begin{aligned} \frac{d}{d t} (L_{A}^{0} + L_{B}^{0}) & = \frac{d}{d t} (L_{A} + L_{B} + X_{A} \times {pag}_{A} + X_{B} \times {pag}_{B}) = {\dot{L}}_{A} + {\dot{L}}_{B} + X_{A} \times {\dot{pag}}_{A} + X_{B} \times {\dot{pag}}_{B} \\ = τ_{A} + τ_{B} + X_{A} \times F_{A} + X_{B} \times F_{B} = r_{A} \times F_{A} + r_{B} \times F_{B} + X_{A} \times F_{A} + X_{B} \times F_{B} \\ = (X_{A} + r_{A} - X_{B} - r_{B}) \times F . \end{aligned}

$\begin{split} \frac{\mathrm d}{\mathrm{d}t} ( L_A^0 + L_B^0 ) & = \frac{\mathrm d}{\mathrm{d}t} (L_A + L_B + x_A \times p_A + x_B \times p_B) = \dot{L}_A + \dot{L}_B + x_A \times \dot{p}_A + x_B \times \dot{p}_B \\ & = \tau_A + \tau_B + x_A \times f_A + x_B \times f_B = r_A \times f_A + r_B \times f_B + x_A \times f_A + x_B \times f_B \\ & = (x_A + r_A - x_B - r_B) \times f. \end{split}$

Por lo tanto, el momento angular total se conserva si:

$x_A + r_A - x_B - r_B = 0$ , es decir, el par de fuerzas actúa en las mismas coordenadas en el marco del mundo,
$f = 0$ , que no hay fuerza actúa,
$(x_A + r_A - x_B - r_B)\ ||\ f$ , es decir, la fuerza actúa a lo largo de la línea de conexión.

La figura 1 satisface la condición número 3 y, por lo tanto, conserva el momento angular total. La figura 2 no satisface ninguna de las tres condiciones y, por lo tanto, no conserva el momento angular total.

Editar: La publicación SO ¿Se conserva siempre el momento angular en ausencia de un par externo? contiene una prueba para partículas puntuales, que tiene un requisito análogo para que se cumpla la conservación (fuerzas a lo largo de la línea de conexión). El autor de la prueba ya lo corrigió.

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AdamRedwine

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