¿Se conserva siempre el momento angular en ausencia de un momento de torsión externo?

Sí. Para cualquier sistema de partículas, la siguiente afirmación es verdadera:

Si el momento de torsión neto en un sistema de partículas es cero, y si las interacciones entre las partículas del sistema apuntan a lo largo de las líneas que las unen, entonces se conserva el momento angular total del sistema.

La demostración en el contexto de la mecánica clásica se encuentra a continuación.

Para el ejemplo de la bola en la cuerda, si solo está considerando la bola, entonces hay un par externo en la bola: el de la cuerda. Una sutileza es que si elige el origen de sus coordenadas para que sea el centro del círculo alrededor del cual gira, entonces en ese caso no hay torque y el momento angular de la pelota, de hecho, se conserva. Sin embargo, si elige un punto diferente como su origen, entonces no es el caso que el vector de posición esté siempre a lo largo de la línea del vector de tensión y, por lo tanto, habrá un par distinto de cero. Recuerda que cuando calculas el momento angular y el momento de torsión, necesitas usar el mismo origen para que ambos sean consistentes.

Para el ejemplo de la órbita, debe considerar el sistema que consta de ambos planetas, entonces no hay un par externo en este sistema y se conserva el momento angular total.

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prueba.

Dejar$m_i$denote la masa de la partícula$i$y deja$\mathbf x_i$denota la posición de la partícula$i$, entonces el momento angular total del sistema se define como

$$\mathbf L = \sum_i \mathbf x_i\times\mathbf (m_i \dot{\mathbf x}_i)$$ Tomando una derivada del tiempo da $$\dot{\mathbf L} = \sum_i\Big(m_i\dot{\mathbf x}_i\times\dot{\mathbf x_i} + \mathbf x_i\times(m_i\ddot{\mathbf{x}}_i)\Big) = \sum_i\mathbf x_i\times\mathbf F_i$$ dónde $\mathbf F_i$es la fuerza neta sobre cada partícula. Ahora divida la fuerza sobre cada partícula en la fuerza externa neta $\mathbf F_i^e$y la fuerza neta debida a todas las demás partículas en el sistema $$\mathbf F_i = \mathbf F_i^e + \sum_j \mathbf f_{ij}$$ dónde $\mathbf f_{ij}$denota la fuerza sobre la partícula $i$debido a la partícula $j$. Entonces nosotros tenemos $$\dot{\mathbf L} = \sum_i\mathbf x_i\times\mathbf F_i^e + \sum_{ij}\mathbf x_i\times\mathbf f_{ij}$$ por la tercera ley de Newton, tenemos $\mathbf f_{ij} = -\mathbf f_{ji}$lo que hace que la última suma desaparezca siempre que las interacciones entre las partículas apunten a lo largo de las líneas que las conectan, nos quedamos con $$\dot{\mathbf L} = \sum_i\mathbf x_i\times\mathbf F_i^e$$ donde la expresión de la derecha es precisamente el par externo neto sobre el sistema.

Nota. La suposición necesaria de que las interacciones entre partículas necesitan apuntar a lo largo de las líneas que las unen es a menudo razonable porque en los sistemas mecánicos clásicos en el mundo real, estas fuerzas son a menudo las interacciones gravitatorias o de culombio que tienen esta propiedad.