Consecuencias de la ecuación general de la hidrostática ∇p=−ρ∇E∇p=−ρ∇E\nabla p= -\rho \nabla E en términos de superficies donde ppp y EEE son constantes

Tengo dificultades para comprender las consecuencias de la ecuación general de la hidrostática en el caso de las fuerzas conservativas.

(1) ∇ pag = − ρ ∇ mi

Dónde pag es la presión, ρ es la densidad y mi es la energía potencial por unidad de masa.

El significado de ( 1 ) está claro pero no las consecuencias respecto a las superficies donde pag es constante y donde mi es constante

En particular, ¿cuál de los dos siguientes es correcto?

( a ) Las superficies donde pag = C o norte s t a norte t también son superficies donde mi = C o norte s t a norte t y ρ = C o norte s t a norte t independientemente del hecho de que ρ es constante para todo el líquido o no .

( b ) Las superficies donde pag = C o norte s t a norte t también son superficies donde mi = C o norte s t a norte t y ρ = C o norte s t a norte t solo si todo el fluido tiene constante ρ .

Por un lado ( a ) parece correcto porque los dos gradientes son paralelos independientemente de ρ (que es un escalar) y eso significa que son perpendiculares a las mismas superficies donde las dos cantidades correspondientes son constantes ⟹ las superficies son las mismas.

Por otro lado, tome el ejemplo de dos fluidos no mezclables en un manómetro U.ingrese la descripción de la imagen aquí

El libro dice que "la presión es la misma en la superficie horizontal que pasa por 3 y 4". esta bien pero si ( a ) era correcto que pag debe ser igual también en las superficies que pasan por 2 y 5. De hecho puedo considerar el fluido formado por el rojo más una parte del azul (el que está entre 3 y 2), ρ no es constante pero sigue siendo un fluido. Pero eso no es correcto.

entonces cual de entre ( a ) y ( b ) es correcto y cuáles son las razones matemáticas y físicas ?

yo diría que ( b ) es correcto pero, además de mi ejemplo, no pude encontrar ninguna razón matemática por la cual ( a ) debería estar mal Cualquier ayuda es muy apreciada.

Respuestas (1)

(b) es correcta. Su ecuación se aplica solo si todo el fluido es el mismo fluido.

Suponga que, como en su problema, E = gz, donde z es la elevación sobre la base. Entonces, el componente de tu ecuación en la dirección z se convierte en

d pag d z = − ρ gramo
Como los puntos 3 y 4 involucran el mismo fluido, la presión en estos dos puntos es la misma, digamos pag 3 − 4 . Ahora si Δ z representa la diferencia de cota entre los puntos 2 y 3, y también entre los puntos 4 y 5, las presiones en los puntos 2 y 5 son las siguientes:
pag 2 = pag 3 − 4 − ρ B Δ z
pag 5 = pag 3 − 4 − ρ R Δ z
dónde ρ B es la densidad del fluido azul y ρ R es la densidad del fluido rojo. Puede ver a partir de esto que las presiones en los puntos 2 y 5 no son iguales porque las dos densidades no son iguales.

¡Gracias por la respuesta! Entiendo el ejemplo, pero ¿por qué? ( a ) debería estar mal solo mirando la ecuación ( 1 ) ? La densidad es un escalar, por lo tanto, incluso si no es constante, no cambia la dirección de ∇ mi , que sigue siendo perpendicular a las superficies donde mi = C o s t y de ( 1 ) estas superficies también deben estar con pag = C o s t , porque ∇ pag ‖ ∇ mi , independientemente del valor de ρ .
Bueno, el ejemplo que di muestra claramente que este no es el caso. El gradiente de p cambia cuando cambia la densidad aunque el gradiente de E no cambie. Tienes que entender las matemáticas. No es realmente una cuestión de física. Si el rho estuviera dentro del del en el lado derecho para que fuera ∇ ( ρ mi ) , entonces (a) sería correcto. Pero no lo es.
Consecuencias de la ecuación general de la hidrostática ∇p=−ρ∇E∇p=−ρ∇E\nabla p= -\rho \nabla E en términos de superficies donde ppp y EEE son constantes
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