¿Se detendrá alguna vez un centavo en el agua a cierta profundidad?

La respuesta es no . El agua, al ser un líquido, es casi incompresible, lo que significa que la densidad cambia muy poco al aumentar la presión. En el océano muy profundo, la presión puede acercarse$10^{8}$Pa (alrededor de mil veces mayor que la presión atmosférica estándar de$1.01\times10^{5}$Pensilvania). Sin embargo, el módulo volumétrico$B$de agua líquida (el recíproco de la compresibilidad) es aún mayor, aproximadamente$2\times10^{9}$Pensilvania ($B$en realidad varía con la presión y la temperatura del agua, pero no lo suficiente como para hacer una diferencia práctica.) La relación de la presión ambiental$P$al módulo volumétrico$B$le da aproximadamente cuánto cambio fraccional habrá en la densidad del agua cuando está bajo presión$P$.

Esta proporción es de aproximadamente$0.05$, por lo que incluso en las mayores profundidades del océano, los cambios en la densidad del agua serán, como máximo, de alrededor del cinco por ciento. Las diferencias reales en la densidad del océano a menudo tienen más que ver con las diferencias en la salinidad del agua (ya que los iones de sodio y cloruro disueltos agregan masa adicional); sin embargo, estos cambios también son pequeños, también al nivel de un pequeño porcentaje como máximo. Para determinar si un centavo flotará o se hundirá, solo necesitamos comparar la densidad del centavo con la densidad bentónica del agua. Los centavos modernos están hechos principalmente de zinc, mientras que antes de 1982, estaban hechos principalmente de cobre. Las gravedades específicas de estos metales son$7.0$y$9.0$, respectivamente (bajo presión atmosférica; serían ligeramente mayores a$10^{8}$Pa), haciéndolos varias veces más densos que el agua de mar (gravedad específica de$1.0$, más o menos un pequeño porcentaje). Así que un centavo se hundiría hasta el fondo. Solo un objeto que está muy cerca de la densidad del agua en la superficie puede encontrar un punto de equilibrio eventual donde su densidad sea igual a la del agua muy profunda.

Sí, lo hará, pero de una manera diferente a la que uno podría imaginar. En los océanos de la Tierra es definitivamente imposible.

A partir del diagrama de fase del agua, se puede ver que suponiendo una temperatura constante de 300 K, el agua se convierte en hielo sólido VI a aproximadamente 1 GPa. Este tipo de presión se encontraría a una profundidad de unos 100 km (en realidad, un poco menos debido al aumento de la densidad). Al comparar esta presión con el módulo volumétrico del agua (alrededor de 2,2 GPa), podemos concluir que a 1 GPa la densidad del agua será de aproximadamente 1500$\mathrm{kg m^{-3}}$. Entonces, si tuviéramos un océano (de agua dulce) lo suficientemente profundo, el centavo finalmente se detendría a esta profundidad sobre una capa de hielo sólido, aunque su densidad sea menor que la del centavo.

Al mismo tiempo, no debemos olvidar que el centavo en sí mismo es comprimible. Sin embargo, para el zinc, el módulo de volumen es de aproximadamente 55 GPa, por lo que a 1 GPa el cambio de volumen será solo del 2 %, lo que puede despreciarse.

No obstante, si insistimos en tener agua líquida, también podemos aumentar la temperatura. Según el diagrama, a la temperatura crítica de 650 K podemos seguir aumentando la presión hasta unos 15 GPa antes de que el agua se solidifique. Esto parece prometedor, pero el módulo volumétrico del agua no es constante. Aumenta con la presión, por lo que probablemente todavía no sea posible alcanzar la densidad del zinc, 7000$\mathrm{kgm^{-3}}$. Así que con agua líquida todavía no es posible.

A temperaturas aún más altas, el agua se vuelve supercrítica. Si encontramos un diagrama de fase más grande , a 1000 K debería ser posible tener agua supercrítica a unos 50 GPa, lo que teóricamente debería ser suficiente para comprimir el agua y mantener el centavo relativamente sin comprimir. Desafortunadamente, dado que los módulos de volumen no son constantes, es probable que esto no sea suficiente.

También debemos recordar que el punto de fusión del zinc es bastante bajo a presión estándar. Afortunadamente, aumenta mucho más con el aumento de la presión, y a 50 GPa ya está por encima de 2500 K.

No puedo encontrar ningún dato experimental para esta región extrema, pero todavía parece remotamente posible que en algún lugar haya una combinación de temperatura y presión en la que el agua es supercrítica, el zinc aún no se derrite y la relación de compresibilidad sigue siendo lo suficientemente baja. que el centavo se mantuviera a flote.

No, la densidad del agua no alcanzará cerca$7 \;\text{g}\,\text{cm}^{-3}$, la densidad del zinc.

La perforación de pozos de petróleo da como resultado presiones al menos tan altas (como la Fosa de las Marianas ). Los collares de perforación de acero aún se hunden; ponga peso sobre la broca. Sin mirar hacia arriba, las densidades del zinc y el acero están cerca de$7 \;\text{g}\,\text{cm}^{-3}$, en números redondos. Y, en algunos pozos, la densidad del lodo de perforación puede ser superior$1.92 \;\text{g}\,\text{cm}^{-3}$($16 \;\text{lb/gal}$), en comparación con el agua de mar a aproximadamente$1.02 \;\text{g}\,\text{cm}^{-3}$($8.5 \;\text{lb/gal}$). Hay un efecto de flotabilidad en la sarta de perforación que compensan los perforadores (más allá de lo que sé). Antecedentes: la sarta de perforación está en tensión, por lo que se colocan pesos (collarines) en la parte inferior para proporcionar fuerza a la broca contra la roca.

TL; DR en teoría un débil sí, en la práctica un rotundo no.

En teoria

De tus comentarios infiero que deseas modelar la pregunta de la manera más simple posible.

Asumamos

• el agua sea un fluido no viscoso compresible estacionario
• en una sola fase
• en gravedad constante uniforme
• y el centavo para ser una masa puntual incompresible de diferente densidad
• moviéndose con velocidad cercana a cero$^1$
• y las leyes de la física sean clásicas y no relativistas.

Estas suposiciones ya parecen difíciles de tragar. De todos modos, en este modelo, ¿cuáles son las posibles densidades de una vertical?$^2$columna de fluido puede tomar? Ellos son$^3$

$$\rho(h)=\frac{\rho_0}{1-\rho_0gh/B}\tag{1}$$

dónde

$$\begin{array}{llr} \rho(h)&\text{liquid density at depth h}\\ \rho_0&\rho(0)\\ B&\text{Bulk modulus of liquid}\\ g&\text{acc. due to gravity} \end{array}$$

Como puede ver, todos los valores de densidades están permitidos dentro de la profundidad$[0,B/\rho_0g]$. Entonces, eventualmente, la moneda se volverá neutralmente flotante a cierta profundidad.

En la práctica

Este es un modelo muy malo de la realidad.

1. Los líquidos suelen ser bastante incompresibles. Como resultado, su densidad apenas varía con la profundidad. Afirmar que la densidad del líquido aumenta lo suficiente como para igualar la de un objeto sólido es absurdo.
2. Incluso si la densidad del líquido aumentara significativamente, nuestro modelo de un fluido monofásico no viscoso fallaría miserablemente. Lo más probable es que el líquido se solidifique antes de alcanzar la densidad requerida para una flotabilidad neutra. Incluso entonces, puede que no coincida con el de un centavo de metal.
3. Incluso con todas nuestras suposiciones, el modelo predijo una densidad singular y una profundidad máxima. Esto es afísico. Además, a presiones lo suficientemente altas como para solidificar un líquido, la temperatura y otros parámetros del estado del material no pueden ignorarse.
4. Numéricamente$^4$, las profundidades previstas para la flotabilidad neutra son insostenibles en la Tierra. No solo eso, para columnas de líquido tan vastas, las corrientes, la concentración y los gradientes térmicos, la solubilidad, el arrastre, etc. se vuelven más importantes para afectar el movimiento de equilibrio de una moneda que se hunde que la variación de densidad.

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Pie de página

$^1$Por lo tanto, no sobrepasará el punto de equilibrio.
$^2$wrt. dirección de la gravedad
$^3$solía

$$\begin{align} dP/dh&=\rho(h) g\tag{A.3.1}\\ B&=-VdP/dV\tag{A.3.2}\\ d\rho/\rho&=-dV/V\tag{A.3.3} \end{align}$$ Llegar $$\frac{d\rho}{dh}-\frac g B\rho^2=0\tag{A.3.4}$$

$^4$Con$B=2\times10^9 \text{Pa},\rho_0=10^3\text{kg m}^{-3},\rho_{penny}/\rho_0=7,g=10\text{m s}^{-2}$

$$\begin{align} \rho(10\text{km})/\rho_0&=1.052\tag{A.4.1}\\ h_{\rho=\rho_{penny}}&\approx 171\text{km}\tag{A.4.2}\\ h_{\rho=\infty}&=200\text{km}\tag{A.4.3}\\ \rho_0 g/B&\approx10^{-6}\tag{A.4.4}\\ \rho(h)&\approx\rho_0(1+\rho_0gh/B)\tag{A.4.5} \end{align}$$