Confusión sobre la contracción de longitud (por ejemplo, en la descomposición de Muon)

No confunda la dilatación del tiempo con la contracción de la longitud (incluso si la contracción de la longitud es consecuencia de la dilatación del tiempo ) porque no hay contracción de la longitud para la distancia entre dos marcos de referencia . La longitud (o distancia) debe encontrarse en un marco de referencia, y el observador debe estar en otro marco de referencia, no puede ser parte del marco de referencia de la distancia.

En consecuencia, no es la distancia entre el muón y la Tierra la que se contrae. Es la distancia entre el punto de partida A del muón y la Tierra (si suponemos que el muón viaja de A a la Tierra).

Desde el marco de la Tierra, la distancia A-Tierra es máxima. Para el marco de muones, la distancia A-Tierra se contrae de acuerdo con su velocidad relativa.

El ejemplo de David Z es el ejemplo opuesto: Hay una distancia en el marco de los muones (entre dos muones que pertenecen al mismo marco) que se observa desde el marco de la Tierra.

La longitud se contrae al revés, simplemente no lo notamos porque los muones son partículas puntuales (que nadie sepa), y una longitud de cero sigue siendo cero sin importar cuánto la contraigas.

Si tuviera un haz de muones espaciados a una distancia fija (y, sin embargo, de alguna manera sus "contadores de descomposición" solo comienzan en$50\text{ km}$altitud), entonces sería una historia diferente. Se podría decir que la longitud se contrae al observar el espacio entre muones consecutivos. Supongamos que los muones viajan a$0.99995c$, entonces$\gamma \approx 100$. Luego, en el marco de descanso de los muones:

• están espaciados, digamos,$10\text{ km}$aparte
• toman$2.2\ \mathrm{\mu s}$decaer
• una atmósfera de espesor$50\text{ km}/\gamma = 500\text{ m}$se acerca a ellos
• esa atmósfera pasará por ellos en$500\text{ m}/(0.99995c) = 1.67\ \mathrm{\mu s}$
• la atmósfera alcanzará un nuevo muón cada$10\text{ km}/(0.99995c) = 33.4\ \mathrm{\mu s}$

En el marco de reposo de la Tierra:

• los muones están espaciados$10\text{ km}/\gamma = 100\text{ m}$aparte
• toman$2.2\ \mathrm{\mu s}\times \gamma = 220\ \mathrm{\mu s}$decaer
• se acercan a una atmósfera de espesor$50\text{ km}$
• atravesarán esa atmósfera en$50\text{ km}/(0.99995c) = 167\ \mathrm{\mu s}$
• un nuevo muón golpeará la atmósfera cada$100\text{ m}/(0.99995c) = 0.334\ \mathrm{\mu s}$

Puede verificar que todos estos números sean consistentes. En particular, en ambos marcos, los muones duran lo suficiente como para atravesar la atmósfera. El tiempo entre impactos es más corto en el marco de reposo de la atmósfera y se dilata por el factor correcto de$\gamma = 100$en el marco de descanso de los muones.

Respuesta corta: Sí, la contracción de longitud es una transformación simétrica entre marcos de referencia. Sin embargo... Puede que no le guste esta respuesta, pero creo que es mucho más fácil considerar la descomposición del muón a través del concepto de dilatación del tiempo en lugar de la duración de la contracción. La razón es que, desde el punto de vista del muón, no se está moviendo (y sí, la Tierra se está moviendo, pero no es relevante para la descomposición del muón), y se descompondrá después de un tiempo t.

En el marco de la Tierra, ese intervalo de longitud t se divide en una parte del tiempo T y una parte del espacio L, y debido al "signo menos" en la métrica, significa que el muón parece "vivir más" antes de desintegrarse. En unidades donde$c=1$,

(Si puedo averiguar cómo cargar imágenes desde mi iPad, le mostraré un par de diagramas de espacio-tiempo que responden más directamente a su pregunta sobre la contracción de longitud. Publicaré lo que tengo ahora).

Bueno, la transformación de Lorentz y la relatividad especial completa nos dan una breve respuesta cualitativa: la dilatación del tiempo y la contracción de la longitud son muy similares. Sentados en la Tierra, vemos muones con una tasa de descomposición más lenta, debido a la dilatación del tiempo. Al ser un muón, calculamos el tiempo en nuestro propio marco de referencia; por lo tanto, para mantener los cálculos claros, debemos contraer la longitud.

El tiempo de vida media de Muon es de 2,2 microsegundos. Podemos suponer que viajan aproximadamente a la velocidad de la luz (0,9997 c). Mirándolos en la Tierra, su tiempo de vida aumenta, porque su reloj 'tic-tac' más lento. Entonces si están, supongamos, a 660 metros de nosotros, en un segundo nos alcanzarán.

Está bien, pero ¿qué hay de ser un muón? Nuestros relojes funcionan con la velocidad exacta del muon de descanso. Entonces, para alcanzar al observador en un segundo con la misma velocidad, tenemos que recorrer una distancia más corta.

Esta es la razón por la que la contracción de Lorentz y la dilatación del tiempo son, de hecho, muy similares entre sí.

Quizás sea útil agregar que la apariencia de objetos en movimiento relativista puede ser todo lo contrario a la contracción de la longitud. Esto es causado por la rotación de Terrell .

Esta respuesta es un sustituto de un comentario sobre otra respuesta. Pero no puedo comentar todavía. Se dijo:

Si pudieras ver pasar un avión o un tren frente a ti a velocidad relativista, parecería contraído.

No parecería necesariamente contraído.

Confusión sobre la contracción de la longitud [...] si un objeto se mueve a una velocidad relativa a otro objeto, ¿no debería este movimiento afectar [...]

Hablar de " contracción de la longitud " (o " dilatación del tiempo ") es inherentemente confuso; es impropio y debe evitarse.

En el ejemplo típico de "muones atmosféricos generados por rayos cósmicos" tenemos los siguientes hechos experimentales inequívocos:

1. la duración de la "vida media" del muón es$\approx~2.2\times 10^{-6}~\text s$, como siempre se ha encontrado para muestras de muones "libres",

2. la duración de un reloj que está (prácticamente) en reposo en el fondo de la atmósfera

   • desde su indicación (prácticamente) simultánea a la indicación de un "átomo de aire" que ha sido golpeado por un protón de rayos cósmicos y (al final de una cadena de descomposición rápida) ha emitido un muón

   • hasta su indicación de ser pasado por este muon

   es$\approx \frac{1}{\sqrt{ \stackrel{~}{1 - v^2/c^2} }} \times 2.2\times10^{-6}~\text s$.

   De esta relación podemos determinar que "$\text s$"aquí en realidad significa la misma unidad de duración en ambas medidas.
   Pero llamar a esta duración del reloj en la superficie de la Tierra también una "duración dilatada del muón" es claramente una atribución errónea.

   Asimismo:

3. la distancia entre el reloj descrito y el "átomo de aire" es típicamente$\approx~10~\text{km}$,

4. la distancia entre el muón descrito y algún otro muón (hipotético) que se "movía detrás" a la misma velocidad (a diferencia del reloj en la superficie de la Tierra), partiendo de un "átomo de aire" que tenía la misma distancia ($\approx~10~\text{km}$) del reloj, tal que

   • la indicación de que el muón anterior había pasado el reloj fue simultánea a

   • la indicación de nacimiento del último muón

   es$\approx \sqrt{ \stackrel{~}{1 - v^2/c^2} } \times 10~\text{km}$.

   De esta relación podemos determinar que "$\text {km}$"aquí en realidad significa la misma unidad de distancia en ambas medidas.
   Pero llamar a esta distancia (experimental mental) entre dos muones también una "distancia contraída entre el reloj y alguna parte particular de la atmósfera" es claramente una atribución errónea.

Creo que la mayoría de ustedes está confundiendo lo que se contrae debido al movimiento. Ni la distancia entre el muón y la Tierra, ni la distancia entre el punto en el que el muón inició su movimiento y su destino. La contracción de longitud se ocupa de la contracción "del objeto en movimiento" (esa es la longitud del muón, si pudiéramos hablar de ello). Si pudieras ver pasar un avión o un tren frente a ti a una velocidad relativista, parecería contraído. Pero el objeto. Y además, este efecto solo afecta la forma en que "ves" el objeto (la forma en que aparece ante tus ojos), no sus características físicas, no hay deformación estructural. Los cuerpos sólidos en movimiento no se vuelven realmente más cortos. Este efecto se debe al hecho de que la información visual es transportada por fotones y cuando el objeto que se ve tiene (casi) la misma velocidad de lo que debe transportar la información visual (luz, fotones) entonces, por supuesto, habrá una falta de información, que será tanto mayor cuanto más distantes estén los puntos de ese objeto del observador (los fotones no tienen tiempo suficiente para entregar información visual). De modo que los puntos de los extremos del objeto se perderán al verlo y el cuerpo aparecerá como contraído. Estoy de acuerdo en que el caso de los muones se explica bastante a través de la dilatación del tiempo. que será tanto mayor cuanto más distantes estén los puntos de ese objeto del observador (los fotones no tienen tiempo suficiente para entregar información visual). De modo que los puntos de los extremos del objeto se perderán al verlo y el cuerpo aparecerá como contraído. Estoy de acuerdo en que el caso de los muones se explica bastante a través de la dilatación del tiempo. que será tanto mayor cuanto más distantes estén los puntos de ese objeto del observador (los fotones no tienen tiempo suficiente para entregar información visual). De modo que los puntos de los extremos del objeto se perderán al verlo y el cuerpo aparecerá como contraído. Estoy de acuerdo en que el caso de los muones se explica bastante a través de la dilatación del tiempo.

Introducción

En la pregunta inicial, Peter G. Chang pregunta:

"Lo que no entiendo es que si un objeto se mueve a una velocidad relativa a otro objeto, ¿no debería este movimiento afectar la distancia entre ellos en los marcos de referencia de ambos, ya que su movimiento es meramente relativo?"

Por lo que sé, en el momento de escribir este artículo, ninguna de las seis respuestas enviadas hasta ahora aborda este aspecto particular de la pregunta.

En la siguiente figura doy una configuración estándar de marcos de referencia. En ambos hay dos eventos. Un evento es la salida de un muón de su tiempo y lugar de creación. El segundo es la llegada del muón a su momento y lugar de colisión con la superficie terrestre. Allí, el marco izquierdo es el marco.$S$de la superficie de la Tierra en reposo, mientras que el marco de la derecha es el marco$S'$del muón en movimiento relativo con respecto a la Tierra. El muón se mueve hacia la izquierda con una velocidad de magnitud$|-v_{m\mid E}|$.

Sin embargo, como indica Peter G. Chang, el movimiento es relativo. Entonces, en la figura a continuación, doy nuevamente la configuración estándar de los marcos de referencia. En ambos hay dos eventos. Los hechos son los mismos que los descritos en el párrafo anterior. Sin embargo, el marco izquierdo es el marco$S'$de la superficie de la Tierra en movimiento relativo con respecto al muón en reposo, mientras que el marco de la derecha es el marco$S$del muón en reposo. La tierra se mueve hacia la derecha con una velocidad de magnitud$|v_{m\mid E}|$.

Materiales y métodos

Materiales

Tenemos dos objetos que se mueven en movimiento relativo uno con respecto al otro. Uno si es un muon y el otro es la tierra. La velocidad relativa de los dos objetos cuando se acercan se da como$|v_{m\mid e}|= |-v_{e\mid m}|$.

Método

El método es construir un diagrama de espacio-tiempo de Minkowski para ambas configuraciones estándar de marcos de referencia que doy en la introducción.

Resultados

En la siguiente figura, muestro el diagrama de espacio-tiempo de Minkowski para la primera figura de la introducción. Dos cosas son importantes a tener en cuenta aquí. Primero, es que la longitud que se mide en el marco del muón en movimiento se contrae con respecto a la longitud que se mide en el marco de la Tierra estacionaria. En segundo lugar, es que el tiempo transcurrido que se mide en el marco del muón en movimiento se contrae con respecto al tiempo transcurrido que se mide en el marco de la Tierra estacionaria. Matemáticamente hablando,

En la siguiente figura, muestro el diagrama de espacio-tiempo de Minkowski para la segunda figura de la introducción. Dos cosas son importantes a tener en cuenta aquí. Primero, es que el cambio de distancia que se mide en el marco del muón estacionario es menor que el cambio de distancia que se mide en el marco de la Tierra en movimiento. Segundo, es que el tiempo transcurrido que se mide en el marco del muón estacionario es menor que el tiempo transcurrido que se mide en el marco de la Tierra en movimiento. Matemáticamente hablando,

Discusión

Independientemente de cómo representemos el movimiento relativo (es decir, el muón moviéndose hacia la Tierra o la Tierra moviéndose hacia el muón), el tiempo transcurrido entre los eventos se mide con un reloj conectado al muón y es menor que el tiempo transcurrido entre los eventos como medida por un reloj fijado a la superficie de la Tierra en el punto de colisión. De manera similar, la distancia espacial entre los eventos en el marco del muón es menor que la distancia entre los eventos en el marco de la tierra. Cualquiera de las dos configuraciones es igualmente válida para resolver este problema, al igual que cada uno de los dos diagramas de espacio-tiempo de Minkowski que se dan en los resultados.

Sin embargo, cuando resolvemos un problema de relatividad especial, debemos tener cuidado de equiparar las variables correctamente según la redacción exacta del problema. Por ejemplo, en 1 Gray escribe que "Estos muones... están viajando a velocidades relativistas con, en promedio, un$\gamma$de 40". Esto indica que el problema se especifica desde la perspectiva de la primera figura en la introducción. Además, Gray escribe que "los muones se crean a una altura nominal de 15 000 m". figura en los resultados, se nos da$\Delta{t}$y$\Delta{z}$. De lo cual tenemos que

En conclusión, dado que un objeto se mueve a una velocidad relativa a otro objeto, (1) es cierto que el movimiento relativo afecta los cambios en la distancia medida en cada fotograma; y (2) independientemente de cómo uno enmarque el asunto, es cierto que la construcción de los diagramas de espacio-tiempo de Minkowski revela el asunto correctamente.

Bibliografía

1 N. Gray, A Student's Guide to Special Relativity , Cambridge University Press, 2022, p. 55.

La contracción de la longitud es de hecho un efecto simétrico en SR, pero la naturaleza de la simetría es tal que fácilmente se puede malinterpretar.

El mejor punto de partida para entender el efecto es considerar que surge de la relatividad de la simultaneidad, como intentaré explicar a continuación.

Suponga que tiene un tren en movimiento. Si mide la posición de la parte delantera del tren y, al mismo tiempo, mide la posición de la parte trasera, la distancia entre las dos posiciones corresponderá a la longitud del tren. Sin embargo, si mide la posición de la parte trasera del tren algún tiempo después de medir la posición de la parte delantera, la diferencia entre las dos medidas será menor que la longitud real del tren, porque la parte trasera del tren se habrá movido. adelante en el tiempo entre las dos mediciones.

Así es como surge la contracción de la longitud. Si tiene dos posiciones separadas 100 km en un marco de reposo, llamémoslas X1 y X2, y las ubica en un instante fijo en algún otro marco a través del cual se están moviendo, el instante fijo en X1 y X2 en el segundo marco en realidad corresponde a dos tiempos diferentes en X1 y X2 en el marco de descanso. Desde la perspectiva de alguien en el marco de reposo, está ubicando el punto X2 después de haber ubicado el punto X1, por lo que no está midiendo la distancia real entre ellos.

En el caso del muón, si consideras que el muón está estacionario y la Tierra en movimiento, una distancia fija de 100 km en el marco de la Tierra podría parecer que se contrae a alrededor de 1 km al muón. En ese caso, una distancia fija de 100 km en el marco del muón parecería ser 1 km en la Tierra. Entonces, si tuvieras dos muones viajando uno detrás del otro, separados por 100 km en su propio marco, parecerían estar separados por 1 km en la Tierra.