¿Conservación de la coherencia cuántica?

No, la coherencia no se conserva por transformaciones unitarias, en general . Es más fácil ver esto con un ejemplo simple. Considere un oscilador armónico cuántico unidimensional , con hamiltoniano ($\hbar = 1$)

$$H = \omega a^\dagger a,$$ que poseen estados propios de energía $H\lvert n\rangle = n\omega \lvert n\rangle$. Ahora bien, la coherencia (en el sentido usual de la palabra) sólo puede definirse con respecto a una elección particular de base. En óptica cuántica, en el estudio de osciladores nanomecánicos y en muchas otras aplicaciones del oscilador armónico cuántico, la coherencia suele definirse con respecto a la base propia de energía. Es decir, un estado $\rho$posee coherencia si su expansión en la base propia de energía $$\rho = \sum_{m,n} \rho_{mn} \lvert m \rangle \langle n\rvert,$$ tiene al menos un término donde $\rho_{mn}\neq 0$para $m\neq n$. De hecho, dicho término se conoce técnicamente como coherencia (en la base propia de energía).

Por lo tanto, el estado fundamental del sistema$\lvert 0 \rangle$no posee coherencia. Por otro lado, un estado coherente $\lvert \alpha\rangle$, tal que$a \lvert \alpha\rangle = \alpha \lvert \alpha \rangle$, posee mucha coherencia (¡sorpresa!). Sin embargo, los dos están relacionados por una transformación unitaria, la bien conocida operación de desplazamiento unitario $\lvert \alpha\rangle = D(\alpha)\lvert 0 \rangle$, dónde

$$D(\alpha) = \exp \left ( \alpha a^\dagger - \alpha^* a \right ),$$ y claramente $D^\dagger(\alpha) D(\alpha) = 1$. Una medida de coherencia $C(\rho)$satisfacer la condición 1 del OP implica por lo tanto $$C(\lvert \alpha \rangle \langle \alpha \rvert) = C(D(\alpha)\lvert 0 \rangle \langle 0 \rvert D^\dagger(\alpha)) = C(\lvert 0 \rangle \langle 0 \rvert ).$$ Por lo tanto $C(\rho)$es una medida bastante pobre, ya que asigna la misma cantidad de "coherencia" al estado de vacío (normalmente se considera que no tiene coherencia) y a un estado coherente (normalmente se considera que tiene coherencia "máxima").

Es sencillo generalizar esto a sistemas multipartitos. Uno encuentra que, por ejemplo,$C(\rho)$asigna la misma cantidad de "coherencia" a los estados puros entrelazados al máximo y a los estados puros separables . Una vez más, esto es exactamente lo contrario de lo que normalmente se llamaría coherencia.

En general, vemos que ninguna medida de coherencia sensata puede ser invariante bajo todas las transformaciones unitarias. De hecho, una medida de coherencia solo debería ser generalmente invariante bajo unitarios que son diagonales en la base de referencia elegida (es decir, la base propia de energía en estos ejemplos).

Si entendemos la coherencia como "superposición coherente", entonces sí, la coherencia se conserva en cierto sentido.

Una simple superposición de dos estados evoluciona unitariamente como

$$\alpha\;|a\rangle + \beta\;|b\rangle \;\; \rightarrow\;\; \alpha\;e^{-iHt}|a\rangle + \beta\;e^{-iHt}|b\rangle \equiv \alpha\;|a(t)\rangle + \beta\;|b(t)\rangle$$ por lo que podemos decir que en cualquier momento la fase relativa de los componentes evolucionados $|a(t)\rangle$y $|b(t)\rangle$es lo mismo que la fase relativa de los componentes iniciales $|a\rangle$y $|b\rangle$.

De hecho, lo mismo ocurre con los elementos de matriz de densidad de estados mixtos. Tenemos$\rho(t) = e^{-iHt} \rho(0) e^{iHt}$, pero también

$$\langle a(t) |\rho(t)|b(t)\rangle = \langle a |\rho(0)|b\rangle$$

Además, en un sistema bipartito que no interactúa que evoluciona bajo Hamiltonian$H = H_A + H_B$, la fase relativa de contribuciones a un estado puro total se conserva en el sentido de que

$$|\Psi_{AB}(0)\rangle = \alpha\;|\psi_A \otimes \psi_B\rangle + \beta\;|\phi_A \otimes \phi_B\rangle \;\; \rightarrow\;\; |\Psi_{AB}(t)\rangle = \alpha\;|\psi_A(t) \otimes \psi_B(t)\rangle + \beta\;|\phi_A(t) \otimes \phi_B(t)\rangle$$ dónde $$\alpha\;|\psi_A(t) \otimes \psi_B(t)\rangle + \beta\;|\phi_A(t) \otimes \phi_B(t)\rangle \equiv \alpha\;e^{-iHt}|\psi_A \otimes \psi_B\rangle + \beta\;e^{-iHt}|\phi_A \otimes \phi_B\rangle$$ para $$|\psi_A(t)\rangle = e^{-iH_At}|\psi_A\rangle, \;\; |\phi_A(t)\rangle = e^{-iH_At}|\phi_A\rangle\\ |\psi_B(t)\rangle = e^{-iH_Bt}|\psi_A\rangle, \;\; |\phi_B(t)\rangle = e^{-iH_Bt}|\phi_A\rangle$$ Y aunque en este caso los estados de los subsistemas A y B ya no son estados puros "coherentes", sino estados mixtos "incoherentes", $\rho_{A(B)} = Tr_{B(A)}|\Psi_{AB}\rangle\langle \Psi_{AB}|$, podemos decir que aún se conserva un cierto grado de coherencia en el tiempo incluso en los estados mixtos, ya que sus elementos de matriz aún satisfacen $$\langle \psi_A(t) |\rho_A(t)|\psi_A(t)\rangle = \langle \psi_A |\rho_A(0)|\psi_A\rangle,\;\;\;\langle \psi_A(t) |\rho_A(t)|\phi_A(t)\rangle = \langle \psi_A |\rho_A(0)|\phi_A\rangle\;\;, \text{etc}$$ y lo mismo para B.

Tenga en cuenta, sin embargo, que no podemos hablar de una sola cantidad conservada que represente la coherencia. Sólo podemos decir que una evolución unitaria conserva relaciones de fase relativas entre estados puros evolucionados unitariamente, tanto en superposiciones de estado puro como en estados mixtos.