Valores propios del operador de densidad bajo el canal cuántico

Dudo que pueda obtener límites útiles sin restringir la clase de canales.

Considere el siguiente canal cuántico (para dimensión arbitraria$d,n$):

$$T:\mathbb{C}^{d\times d}\to \mathbb{C}^{n\times n}: \rho \mapsto \operatorname{tr}(\rho) \sigma$$

dónde$\sigma$es cualquier estado cuántico. Usando el isomorfismo de Choi-Jamiolkowski, puede ver fácilmente que este es de hecho un mapa completamente positivo y, por construcción, conserva las trazas.

Claramente, el espectro de$\sigma$es completamente independiente del espectro de$\rho$.

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Bien, entonces no hay forma de tener estas desigualdades para canales arbitrarios. Preguntas ahora:

Ya que estoy considerando una evolución física$\rho\to \rho^{\prime}$, creo que la entropía de von-Neumann solo puede aumentar, es decir$S(\rho)\to S(\rho^{\prime})$.

Esto está mal. Por ejemplo, esto significaría que nunca podría preparar estados auxiliares puros para un cálculo cuántico (y puede hacerlo al menos con muy buena precisión). También significaría que la mayoría de los mapas completamente positivos que conservan rastros no serían físicos. Pero, por supuesto, hay grandes clases de procesos en la naturaleza, donde la entropía (local) solo puede aumentar. Estos canales son, en cierto sentido, muy "disipadores".

Eso significa que, aunque físicamente no lo abarcan todo como usted pide, consideremos canales cuánticos con entropía creciente.

El caso de las mismas dimensiones de entrada y salida

Hablo de este caso, porque en realidad sé la respuesta y tal vez mis comentarios te ayuden a encontrar lo que necesitas.

Resulta que un canal tiene entropía creciente si y solo si es unitario (y por lo tanto doblemente estocástico). Que la unicidad es necesaria para un canal de aumento de entropía está claro aquí, porque el estado de máxima mezcla tiene la máxima entropía. La otra dirección se deriva del hecho de que la entropía relativa solo disminuye en aplicaciones doblemente estocásticas.

En este caso, aquí hay una respuesta a su pregunta con el resultado: Para un canal cuántico unitario$T$, el espectro decrecientemente ordenado de$T(\rho)$es mayorizado por el espectro ordenado de$\rho$o dicho de otra manera

$$\sum_{i=1}^k \lambda_i^{\downarrow}(T(\rho))\leq \sum_{i=1}^k \lambda_i^{\downarrow}(\rho) \qquad \forall k=1,\ldots,n$$

Esto implica su desigualdad para este caso, pero parece que está más interesado en los canales generales.

El caso de dimensiones de salida más grandes

A diferencia del primer caso, nunca he trabajado con este caso ni he visto que se use en su contexto, por lo que este será solo un intento débil de respuesta.

Una clasificación no es tan sencilla, porque creo que siempre puedo incrustar un canal cuántico$T:\mathbb{C}^{2\times 2}\to \mathbb{C}^{2\times 2}$en uno más grande, donde no hago nada en las otras dos dimensiones y esto seguiría siendo un canal de aumento de entropía (ahora no unitario). Por lo tanto, mientras que los mapas unitarios aún deberían ser decrecientes en entropía, ahora lo contrario definitivamente no es cierto.

Sin embargo, si suponemos que el canal no solo aumenta la entropía, sino que es unitario como el anterior, creo que puedo proporcionarle una prueba de una declaración aún más fuerte: compruebe si hay errores, no he hecho estas manipulaciones en mucho tiempo:

Proposición: Sea$T:\mathbb{C}^{2\times 2}\to \mathbb{C}^{4\times 4}$ser un canal cuántico doblemente estocástico. Entonces$\lambda_1(T(\rho))+\lambda_2(T(\rho))\leq \lambda_1(\rho)$[los autovalores están ordenados decrecientemente].

La prueba usa el teorema para canales con dimensiones de entrada y salida iguales. Considere cualquier$\rho$y denote los valores propios de$T(\rho)$por$\lambda_1,\ldots,\lambda_4$. En la base, donde$T$es diagonal, podemos descomponer$\mathbb{C}^{4\times 4}=\mathbb{C}^{2\times 2}\otimes \mathbb{C}^{2\times 2}$escritura (en notación qubit):

$$\sum_{i=1}^4 \lambda_i |i\rangle\langle i|=\lambda_1|0\rangle\langle 0|+\lambda_2|01\rangle\langle 01|+\lambda_3|10\rangle\langle 10|+\lambda_4|11\rangle\langle 11|$$

Hasta ahora, no ha pasado nada (solo cambio de bases). Ahora, en lugar de considerar el mapa$T$, consideramos el mapa$\operatorname{tr}_2\circ T$, la composición del mapa y la traza parcial en el segundo subsistema. Dado que la traza parcial es doblemente estocástica y CP, esta composición también es doblemente estocástica y CP y se cumple nuestro criterio de mayorización.

Tenemos:

$$\operatorname{tr}_2(T(\rho))=(\lambda_1+\lambda_2)|0\rangle\langle 0|+(\lambda_3+\lambda_4)|1\rangle\langle 1|$$

y luego, por el criterio de mayorización:$\lambda_1+\lambda_2\leq \lambda_1(\rho)$si$\lambda_1(\rho)$es el mayor valor propio del estado inicial$\rho$.

Con un razonamiento similar, debería ser posible obtener una serie de desigualdades interesantes para preguntas similares, al menos para mapas unitarios. No tengo idea de cómo proceder para mapas no unitarios. Del mismo modo, no tengo una idea real de si estos criterios serán suficientes (pero de todos modos no lo preguntaste).