La serie armónica se extiende hasta el infinito, por lo que debemos limitar el análisis a los primeros n armónicos. Los resultados, entonces, dependerán de cuántos armónicos analice y cuánto valor le dé a cada armónico (tal vez pondere cada armónico con su amplitud).

Hice un pequeño programa que analiza esa relación entre armónicos e intervalos. Puedes encontrarlo aquí . Tiene estas especificaciones:

• El programa calcula para cada armónico a qué intervalo se acerca más en centésimas.
• Este análisis se realiza utilizando la serie armónica que se encuentra en una onda de diente de sierra.
• El total ponderado utiliza la ponderación 1 / harmonic number, por lo que cada armónico obtiene un valor en función de su amplitud en relación con la fundamental.
• Utiliza tanto la proporción de 2^(1/12)(temperamento igual de 12 tonos) como la entonación justa (afinación pitagórica) para calcular la frecuencia de los intervalos.

Veamos los resultados de los primeros 50 armónicos analizados con este programa. Hay dos tablas: la primera muestra la frecuencia con la que se encontró cada intervalo, la segunda muestra la suma ponderada de cada intervalo.

Primeros 50 armónicos analizados:

(Los resultados fueron los mismos tanto en 12-TET como en Entonación Justa)
Ordenado por totales:
quinto 7.0
raíz 6.0
tritono 6.0
tercera mayor 5.0
segunda mayor 4.0
tercera menor 4.0
sexta menor 4.0
séptima menor 4.0
segunda menor 3.0
cuarto 3.0
séptima mayor 3.0
sexta mayor 1.0

Ordenado por total ponderado:
raíz 1.97
quinto 0.688
tercera mayor 0.399
séptima menor 0.284
tritono 0.247
segunda mayor 0.223
sexta menor 0.175
séptima mayor 0.132
tercera menor 0.132
segundo menor 0.119
cuarto 0.0947
sexta mayor 0.037

Podemos ver que los intervalos más comunes que se encuentran en la serie armónica son el unísono y la quinta justa. Los intervalos menos comunes que se encuentran en la serie armónica son la sexta mayor, la séptima mayor y la cuarta perfecta.

Los valores ponderados dan resultados similares, la diferencia es que el cuarto perfecto puntúa aún más bajo. Me pregunto si hay un mejor valor de ponderación o dinámica. Podría estar dando muy poco valor a los armónicos más altos.

Diferencias entre armónicos y su intervalo más próximo.

Alguien comentó que sería interesante saber cuál es la diferencia entre los armónicos y su intervalo más cercano. Después de algunas modificaciones al programa, aquí están los resultados:

Diferencia promedio de los primeros 50 armónicos, en centavos:

Diferencia media:

Intervalo 12-TET JI
raíz 0.000 0.000
segunda menor 18.879 22.138
segunda mayor 14.148 12.193
tercera menor 24.028 24.474
tercera mayor 16.762 21.454
cuarto 23.319 22.667
tritono 35.395 32.136
quinto 11.703 10.306
sexta menor 33.950 33.950
sexta mayor 5.865 0.000
séptima menor 30.775 28.820
séptima mayor 22.833 26.091

Lista completa de diferencias para los primeros 50 armónicos, en centavos:

Diferencias para 12-TET:
raíz ['0.000', '0.000', '0.000', '0.000', '0.000', '0.000']
segunda menor ['4.955', '46.727', '4.955']
segunda mayor ['3.910', '3.910', '44.860', '3.910']
tercera menor ['2.487', '48.656', '2.487', '42.483']
tercera mayor ['13.686', '13.686', '13.686', '13.686', '29.062']
cuarto ['29.219', '29.219', '11.518']
tritono ['48.682', '48.682', '28.274', '48.682', '9.776', '28.274']
quinto ['1.955', '1.955', '1.955', '1.955', '34.493', '1.955', '37.652']
sexta menor ['40.528', '27.373', '40.528', '27.373']
sexta mayor ['5.865']
séptima menor ['31.174', '31.174', '31.174', '29.577']
séptima mayor ['11.731', '11.731', '45.036']

Diferencias para la entonación justa:
raíz ['0.000', '0.000', '0.000', '0.000', '0.000', '0.000']
segunda menor ['14.730', '36.952', '14.730']
segunda mayor ['0.000', '0.000', '48.770', '0.000']
tercera menor ['3.378', '42.791', '3.378', '48.348']
tercera mayor ['21.506', '21.506', '21.506', '21.506', '21.242']
cuarto ['27.264', '27.264', '13.473']
tritono ['36.952', '36.952', '40.004', '36.952', '1.954', '40.004']
quinto ['0.000', '0.000', '0.000', '0.000', '36.448', '0.000', '35.697']
sexta menor ['48.348', '19.553', '48.348', '19.553']
sexta mayor ['0.000']
séptima menor ['27.264', '27.264', '27.264', '33.487']
séptima mayor ['21.506', '21.506', '35.261']

Técnicamente hablando, la respuesta es infinito para todos los intervalos.

Esto se debe a que para cualquier armónico resonante de una fundamental, existe un armónico al doble de la frecuencia.

Hay un orden en el que aparecen estos intervalos, y eso se encuentra fácilmente observando la serie armónica . Por supuesto, debe saber que el temperamento igual de 12 tonos que usamos hoy se deriva de la serie armónica ajustando todos los tonos para que estén a la misma distancia, y las notas en la serie armónica disminuyen rápidamente. en tamaño hasta que estén separados por menos de un semitono.

Editar:

Realmente no estoy satisfecho con la idea de usar una definición de "intervalo" de 12-TET/práctica común cuando se habla de la serie armónica. Con la excepción de la octava, todos los intervalos creados por la serie armónica deben ajustarse para ajustarse a un nombre de intervalo (como "séptima menor") que es de uso común. La forma correcta de referirse a los intervalos acústicos es por medio de una relación, relacionando el armónico con el fundamental. Al pensarlo de esta manera, la serie armónica es increíblemente simple. Construyamos una serie armónica en 100 Hz:

(P = parcial -- harmonic frequencysiempre es fundamental frequencyx partial number)

P | Hz  | Interval
1 | 100 | 1/1
2 | 200 | 2/1
3 | 300 | 3/1
4 | 400 | 4/1
5 | 500 | 5/1
6 | 600 | 6/1
7 | 700 | 7/1
8 | 800 | 8/1
9 | 900 | 9/1

Para encontrar equivalencias de octava, dividimos por la mitad cada relación de intervalo (provocando una reducción a la mitad de la frecuencia resultante) hasta que sea menor que 2/1. (Matemáticamente, esto solo significa que duplicamos el "denominador" del intervalo).

P | Hz  | Interval
1 | 100 | 1/1
2 | 200 | 2/2
3 | 300 | 3/2
4 | 400 | 4/4
5 | 500 | 5/4
6 | 600 | 6/4
7 | 700 | 7/4
8 | 800 | 8/8
9 | 900 | 9/8

Luego simplifica:

P | Hz  | Interval
1 | 100 | 1/1
2 | 200 | 1/1
3 | 300 | 3/2
4 | 400 | 1/1
5 | 500 | 5/4
6 | 600 | 3/2
7 | 700 | 7/4
8 | 800 | 1/1
9 | 900 | 9/8

Incluí el paso del medio para que sea más fácil ver que el número de intervalos por octava crece exponencialmente: 2^n, donde n es el número de octavas por encima de la fundamental. Cada octava siguiente contiene todos los intervalos de la octava anterior más 2^(n-1) nuevos intervalos.

Entonces, dentro de un rango finito de octavas completas y después de simplificar todas las proporciones de intervalo , cualquier intervalo con denominador 2^n va a tener:

• exactamente una aparición más que cualquier intervalo con denominador 2^(n+1)
• exactamente una aparición menos que cualquier intervalo con denominador 2^(n-1)
• exactamente el mismo número de ocurrencias que cualquier otro intervalo con el mismo denominador

Debería ser bastante fácil a partir de este punto crear un caso generalizado para la frecuencia de ocurrencia dado un intervalo y un rango, si así lo desea.

Entonces, así es como la serie armónica funciona acústica y matemáticamente. Si sabe cómo se ve tonalmente la serie armónica, debería poder hacer coincidir las proporciones enumeradas anteriormente con sus intervalos tonales favoritos: 3/2 es la quinta perfecta, 5/4 es su tercera mayor, 7/4 es la séptima menor , y 9/8 es la 2da mayor.

Personalmente, no creo que ningún intervalo más allá de estos deba considerarse "equivalente" más allá de lo que casualmente puede ser el caso. Claro, puede obtener un "tercero menor" disparando hasta el armónico 19, pero es mucho más fácil obtener usando la distancia entre los armónicos 5 y 6. Just Intonation usa exactamente esto para la tercera menor, 6/5. La cuarta perfecta es 4/3, la sexta mayor es 5/3 y la sexta menor es 8/5. Las proporciones pequeñas de números enteros se perciben como consonancia.

Algunos recursos:

• Tabla muy útil de los primeros 32 armónicos.
• Wikipedia: Armónico (muchos gráficos increíbles)
• Buena información sobre la entonación justa

El programa de JC pasa y cuenta, que es un enfoque del problema que ciertamente da una respuesta. Pero lo que no proporciona es una idea del patrón que hace que las notas se repitan en la secuencia de armónicos. Voy a adoptar el enfoque opuesto, de mostrar el patrón, sin necesariamente dar una respuesta. :)

La clave, por supuesto, son las octavas, que ocurren cada vez que la frecuencia se duplica. Si definimos unidades para que la frecuencia fundamental sea '1', entonces la frecuencia de los armónicos son simplemente números enteros. Pero cualquier potencia de 2 estará un número de octavas por encima de la fundamental:

unísono/octavas: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ...

De hecho, cualquier armónico par es una repetición de una nota escuchada previamente, ya que se puede dividir por la mitad para encontrar un armónico una octava más bajo. Entonces, solo los números impares nos darán notas 'nuevas', y cada armónico se puede escribir como un número impar multiplicado por una potencia de dos .

El siguiente número disponible en secuencia es el 3, que en la serie armónica corresponde a una quinta perfecta:

quintos: 3, 6, 12, 24, ...

El siguiente es el 5° armónico, que corresponde a un intervalo de 3° mayor:

tercios mayores: 5, 10, 20, 40, ...

Luego el 7° armónico, correspondiente a un 7° menor desafinado:

séptimas menores: 7, 14, 28, ...

Y el armónico 9º, correspondiente a una 9ª mayor (o una 2ª mayor):

segundos mayores: 9, 18, 36, ...

El armónico 11 es otro que está desafinado con 12TET, y se encuentra en algún lugar entre un tritono y un cuarto perfecto:

tritonos: 11, 22, ...

A partir de este punto, los armónicos se correlacionan cada vez menos con la escala 12TET y deben comenzar a redondearse, según el programa de JC. Pero puedes ver el patrón aquí. Si, por ejemplo, estamos limitados a los primeros 40 armónicos, entonces todos los armónicos impares entre el 11 y el 19 ocurrirán dos veces (19x2 = 38), y comenzando con el armónico 21, solo ocurrirán una vez. Solo para reiterar el punto anterior: cada armónico impar será un tono totalmente nuevo en la serie y no será una octava de un tono anterior.

Otra forma de pensar en los armónicos es en términos de descomposición de números primos (cada número compuesto es un producto de números primos). Por ejemplo, considere el armónico 60: 60 = 2^2 * 3 * 5

Dado que hay dos factores de '2', esto es dos octavas por encima del armónico 15 (= 3 * 5). Dado que hay un factor de '3', esta es una quinta perfecta por encima del armónico 5, que es una tercera mayor. Entonces podemos deducir que el armónico 60 es una 3ra mayor arriba de una 5ta perfecta, es decir, una 7ma mayor.