¿Comportamiento de cuerdas en orbitales electrónicos?

Parece que necesitamos revisar cómo se describen los átomos en tres tipos de teoría cuántica: la mecánica cuántica no relativista, la teoría cuántica de campos relativista y la teoría de cuerdas.

Todas estas son teorías cuánticas, por lo que todas utilizan algún tipo de marco cuántico, en el que hay "observables" que pueden tomar valores posibles, con probabilidades derivadas de funciones de onda, estados cuánticos, integrales de trayectoria, etc.

No es ningún secreto que hay mucha angustia y controversia con respecto a la forma correcta de pensar sobre los objetos cuánticos. La forma más neutral pero precisa de hablar de esto sería restringirse a afirmaciones sobre los observables: qué son, cuáles son sus posibles valores y cómo varían las probabilidades.

Pero si se me pide que ofrezca una imagen verbal, describiría un objeto cuántico como sujeto al principio de incertidumbre. Este concepto es más familiar cuando se aplica a la posición y el momento de una partícula puntual, pero también se aplica a otras variables conjugadas, como la posición y la velocidad de un punto en una cuerda en movimiento, o la amplitud y tasa de cambio de un punto en un campo

No digo que esta sea la forma definitiva de ver la realidad, solo que es una forma cualitativa precisa de pensar sobre el significado de la mecánica cuántica. (Supongo que comprende los conceptos básicos de la mecánica cuántica, como la regla de Born y cómo los operadores representan los observables). Podemos intentar hablar sobre otras concepciones, pero si va más allá de esto, estará yendo más allá de la mecánica cuántica per se. sí, a algún otro conjunto de ideas.

Los orbitales electrónicos son un concepto de la mecánica cuántica no relativista de electrones en átomos y moléculas. Son elementos de una función de onda (posiblemente de muchos cuerpos) que obedece a una ecuación de Schrödinger. Esta función de onda describe uno o más electrones, que mi imagen verbal cualitativa describe como partículas puntuales sujetas a un principio de incertidumbre. Eso es lo que hace un orbital, te da probabilidades con respecto a las propiedades observables de una partícula puntual.

En la teoría cuántica de campos, ahora tenemos observables de partículas (como el número de partículas) y observables de campo (como la intensidad de campo). Según mi fórmula cualitativa, los objetos fundamentales aquí son campos, campos de bosones y campos de fermiones. Sin embargo, cuando se aplica el principio de incertidumbre a un campo, se obtienen cuantos de energía que se comportan como las partículas cuánticas de la mecánica cuántica no relativista.

Si puede comprender los niveles de energía de un oscilador armónico cuántico, puede comprender cómo funciona esto para los campos de bosones. Uno considera los modos de Fourier del campo de bosones (como las ondas planas de las ecuaciones clásicas de Maxwell) como osciladores armónicos independientes. Aplica el principio de incertidumbre a cada uno, y encontrarás que cada modo de campo puede contener cero, uno, dos... "cuantos de energía", que se comportan como partículas cuánticas en un estado de momento puro. Al superponerlos, se puede construir cualquier colección deseada de funciones de onda localizadas, imitando así un estado de la mecánica cuántica de n partículas. Sin embargo, en teoría todo puede interpretarse como una superposición de estados del campo.

Los campos de fermiones serán más dolorosos de transmitir. Cada oscilador bosónico tiene un número infinito de niveles de energía. Pero un "oscilador fermiónico" solo debe tener dos, para implementar el principio de exclusión. Si vamos a pensar en el campo de fermiones como un campo, es decir, una entidad que tiene un valor en cada punto del espacio, debemos pensar en sus valores como "números de Grassmann", un tipo especial de "número" con propiedades algebraicas inusuales. . Este concepto se emplea en integrales de camino fermiónico. Entonces, si puede tragarse la noción de un campo con valores de Grassmann, entonces podemos extender la imagen verbal cualitativa y decir que los fermiones también son partículas cuánticas que surgen de un campo sujeto al principio de incertidumbre.

Pero muchos físicos dirían que los números de Grassmann no son números, son solo objetos formales, y se centrarían solo en los observables y las propiedades algebraicas de los operadores relevantes, como sus relaciones de conmutación. Por su intuición física, deben usar algún otro enfoque cuando piensan en fermiones.

Ahora estamos hablando de electrodinámica cuántica (QED). Tenemos un campo de bosones (para fotones) y campos de fermiones (para el electrón, y quizás para los nucleones si no los tratamos de forma clásica). Aquí surge otra complicación, que es que los estados ligados, como los átomos, no se tratan muy bien en una teoría cuántica relativista de campos como QED. No tenemos la simplicidad del marco no relativista, en el que tenemos una función de onda que evoluciona según un tiempo universal.

En cambio, el objeto fundamental de la teoría cuántica relativista de campos es la matriz S, la matriz de dispersión, que describe las probabilidades de transición entre estados asintóticos: la probabilidad de pasar de un estado en el pasado infinito a otro estado en el futuro infinito. Por lo general, uno imagina un proceso de dispersión en el que las partículas comienzan muy separadas, se acercan e interactúan, y luego los productos de la interacción se separan nuevamente. En lugar de la ecuación de Schrödinger, el método fundamental de cálculo aquí es la imagen del operador de Heisenberg o la suma de historias de Feynman.

De todos modos, ya que me estoy cansando de la exposición, solo diré algunas cosas más. Es un poco complicado representar estados ligados, como átomos, en el marco de la matriz S. Debido a que el número de partículas puede variar, y debido a que no hay una coordenada de tiempo universal fija, deben "construirse" a partir de diagramas de Feynman u otras construcciones QFT de alguna manera. La básica es la ecuación de Bethe-Salpeter y se ha aplicado a átomos muy simples.

En su pregunta, dice que los orbitales son "ondas estacionarias en campos", pero eso no es realmente cierto. En la imagen no relativista, el orbital es una onda estacionaria en una función de onda , y una función de onda de una sola partícula es como un campo en el sentido de que tiene un valor en cada punto del espacio. Pero no es un campo. Es una "onda de amplitud de probabilidad", y probablemente sea solo una parte de una función de onda entrelazada de muchos cuerpos de todos modos.

Mientras tanto, cuando lleguemos al modelo de campo real de los orbitales, en la teoría cuántica de campos, habrá una superposición complicada de historias de campos cuánticos , en las que los cuantos de campo de bosones se aproximan al potencial de Coulomb del núcleo, y los cuantos de campo de fermiones se aproximan. los orbitales

Y recién ahora llegamos a la teoría de cuerdas. En el caso de la teoría cuántica de campos, los diagramas de Feynman ofrecen un marco para el cálculo que parece una suma de historias de partículas; ni siquiera necesita preocuparse por la imagen de campo. (Excepto que necesita el marco completo de campos, para fenómenos "no perturbativos"). En el caso de la teoría de cuerdas, tenemos algo así como los diagramas de Feynman, los diagramas topológicos que muestran cadenas dividiéndose y uniéndose; pero la teoría fundamental, análoga a la imagen de campo de la teoría cuántica de campos, sigue siendo bastante oscura. Existe una cosa llamada "teoría de campos de cuerdas", y tiene sus usos, pero casi nadie pensaría que esa es la formulación fundamental de la teoría de cuerdas.

La teoría de cuerdas, como la teoría cuántica de campos, es una teoría de matriz S. Y creo que la comprensión de los estados ligados es aún más primitiva en la teoría de cuerdas que en la teoría cuántica de campos, en parte debido a la complejidad matemática, en parte a la falta de un fondo de espacio-tiempo independiente que pueda anclar la búsqueda de estados ligados dentro del S- matriz.

Entonces, aunque en última instancia las cuerdas son probablemente solo una especie de excitación de alguna geometría fundamental o "pregeometría", irónicamente, la imagen más clara que tenemos de la teoría de cuerdas sigue siendo la imagen perturbativa, análoga a los diagramas de Feynman de la teoría cuántica de campos, la imagen en de lo que se trata la teoría, es de cuerdas que interactúan vibrando, cuerdas que pueden dividirse y unirse, y que están sujetas a un principio de incertidumbre.

Esto significa, en primer lugar, que si desea comprender un orbital electrónico en términos de la teoría de cuerdas, primero debe comprenderlo en términos de una partícula puntual y luego imaginar que la partícula es en realidad una cuerda muy pequeña. Por supuesto, esto no es ningún cambio en absoluto.

Preguntas específicamente sobre el giro. Lubos presenta un análisis para una cuerda bosónica cerrada, en términos de las ondas que se mueven (digamos) en el sentido de las agujas del reloj y en el sentido contrario a las agujas del reloj (usualmente se habla de motores a la derecha y motores a la izquierda). De hecho, así es como se construyen los estados cuánticos de una cuerda. Sin embargo, para el caso específico de los fermiones, como los electrones, debe tener un campo de Grassmann en la cuerda para obtener un espín medio entero. Para una cuerda puramente bosónica, la única propiedad que tiene un punto de la cuerda es su vector de posición (y su vector de velocidad, si queremos considerar eso también). Los vectores de posición de los puntos de la cuerda se comportan como campos bosónicos. Pero cada punto de una supercuerda también tiene un conjunto de coordenadas de Grassmann, de modo que puede producir estados fermiónicos.

Entonces, para un objeto genuinamente fermiónico, el análisis de Lubos es solo sugerente. La cadena en cuestión se extenderá espacialmente, por lo que parte del análisis se mantendrá. Pero las variables fermiónicas en la cuerda también deben contribuir al cálculo del momento angular, a través de algún tipo de integral de Grassmann, pero tendría que recurrir a un libro de texto de teoría de cuerdas para averiguar los detalles.

Y aquí es donde me detendré. La cuestión de cómo la teoría de cuerdas describiría los orbitales de electrones es realmente interesante, pero creo que los temas clave son bastante distintos a los de su pregunta, por ejemplo, cómo adaptar la ecuación de Bethe-Salpeter a la teoría de cuerdas. (Otro tema interesante pero técnico, interesante para mí, es cómo los fermiones masivos de Dirac como los electrones, producidos por las interacciones de yukawa con el bosón de Higgs, se construyen a partir de los fermiones fibrosos de Weyl. Pero uno primero intentaría responder la pregunta de Bethe-Salpeter por un caso más sencillo.)

Como he dicho, creo que estás mezclando funciones de onda y campos. Al final, sí, las funciones de onda de partículas se obtienen a partir de campos cuánticos, pero parece que estás pensando en funciones de onda como campos clásicos , porque puedes calcular una densidad de carga a partir de la función de onda. Ya sabes, en la vecindad de un núcleo atómico, en realidad puede ser posible descomponer el campo de fermiones de electrones en modos que corresponden a los orbitales. Entonces, puede haber un sentido en el que un orbital ocupado sea una "onda estacionaria en un campo". Pero sería una excitación cuántica de un campo valorado por Grassmann, y no una onda estacionaria en un campo clásico cargado.