¿Cómo varía la tasa de ascenso con la altitud de densidad/presión?

Para aviones de hélice, la tasa de ascenso es una función de

• potencia disponible
• poder exigido
• peso
• densidad del aire
• elevación del ala

Cinco variables, y la elevación del ala es en sí misma una función del número de Mach, el número de Reynolds, el AoA del ala y el área del ala. La potencia disponible es una función de la densidad del aire, el ajuste del acelerador, la incidencia de la hélice; la potencia demandada es una función de la velocidad del aire, la densidad del aire, el ángulo de ataque, los números de Mach y Reynolds. Entonces, en total, una matriz muy grande de variables independientes: para encontrar ecuaciones a través de un análisis, tendremos que hacer algunas suposiciones y simplificaciones. Por ejemplo, que el vector de empuje de la aeronave permanezca razonablemente horizontal de modo que$T \cdot sin(\Gamma)$es cercano a cero y puede ser ignorado. Además, ese ascensor = peso durante el ascenso.

Para el ascenso constante, la ecuación de peso se convierte en

$$W = C_L \cdot \frac{1}{2} \rho V^2 \cdot S \Rightarrow V = \sqrt{\frac{W}{S}\cdot\frac{2}{\rho} \cdot \frac{1}{C_L}} \tag{1}$$

Para el arrastre en vuelo horizontal:

$$D_h = C_D \cdot \frac{1}{2}\rho V^2 \cdot S = \frac{C_D}{C_L} \cdot W \tag{2}$$

y la potencia requerida en vuelo horizontal$(P_r)_h$se convierte en:

$$(P_r)_h = D_h \cdot V = W \cdot \sqrt{\frac{W}{S}\cdot\frac{2}{\rho} \cdot \frac{{C_D}^2}{{C_L}^3}} \tag{3}$$

La potencia necesaria para mantener la velocidad de ascenso$C$es$W \cdot C$y potencia disponible$P_a = (P_r)_h + W \cdot C$, por lo tanto:

$$C = \frac{P_a - (P_r)_h}{W} = \frac{P_C}{W} \tag{4}$$
Combina (3) y (4):

$$C = \frac{P_a - (P_r)_h}{W} = \frac{P_a}{W} - \sqrt{\frac{W}{S}\cdot\frac{2}{\rho} \cdot \frac{{C_D}^2}{{C_L}^3}} = \frac{\eta \cdot P_{br}}{W} - \sqrt{\frac{W}{S}\cdot\frac{2}{\rho} \cdot \frac{{C_D}^2}{{C_L}^3}} \tag{5}$$

La imagen de arriba muestra un gráfico de$P_{br}$del P&W Wasp: función de presión múltiple y altitud. Este motor tenía un turbocompresor para mejorar el rendimiento en altitud, es posible que los motores de los aviones GA no los tengan. Los gráficos de hélices de paso variable muestran una eficiencia de hélice$\eta$de alrededor de 0,8.

Cómo se relaciona esto con el gráfico que se muestra en OP:

• Las ecuaciones cuentan con la densidad del aire$\rho$. Esta es una función de la presión estática y de la temperatura: aquí se puede encontrar una ecuación para convertir a presión estática y viceversa .
• La potencia disponible para un motor de pistón normalmente aspirado disminuye en función de la altitud, aproximadamente de acuerdo con$\frac{({P_{br}})_h}{({P_{br}})_o} = (1 + c) \frac{\rho_h}{\rho_o}$. Las pruebas en algunos motores de pistón americanos mostraron que para muchos de ellos un valor de$C$= 0,132 sería apropiado, consulte la figura a continuación que también muestra la función altitud-potencia de un motor de pistón con sobrealimentador.

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La tasa de ascenso depende del exceso de potencia disponible después de restar la resistencia al empuje neto. Si el avión permanece en el mismo punto polar mientras asciende, necesita acelerar para compensar la disminución de la densidad del aire. Por lo tanto, además de la resistencia, también se debe restar este trabajo de aceleración antes de que el empuje restante pueda usarse para escalar.

Primero aclaremos términos:

X$_g$, y$_g$, z$_g$: Sistema de coordenadas fijo en la Tierra
x$_f$, y$_f$, z$_f$: Sistema de coordenadas fijo del avión
x$_k$, y$_k$, z$_k$: Sistema de coordenadas cinéticas donde x es la dirección del movimiento
L$\;\;$: Ascensor
D$\;\;$: Arrastre
T$\;\;$: Empuje
m$\;\:$: masa
$\alpha\;\;$: Ángulo de ataque (entre los ejes x de los sistemas de coordenadas cinéticas y fijas del avión)
$\gamma\;\;$: Ángulo de trayectoria de vuelo (entre los ejes x de los sistemas de coordenadas cinéticos y fijos en la Tierra)
$\sigma\;\:$: Ángulo de empuje relativo al sistema de coordenadas fijo del avión
$v_{\infty}$: Velocidad aerodinámica

El punto polar debe ser el de la velocidad óptima de ascenso . También hay uno para el ángulo de ascenso óptimo , pero esta simplificación está justificada. También ayuda a facilitar los cálculos, ya que los aviones de hélice ascienden mejor en el punto polar donde se requiere la potencia mínima para mantener el vuelo. esto es en

$$c_L = \sqrt{3\cdot c_{D0}\cdot AR\cdot\pi\cdot\epsilon}$$ con
$c_L\;\;$: Coeficiente de sustentación
$c_{D0}$: Coeficiente de arrastre de elevación cero
$AR$: relación de aspecto del ala
$\epsilon\;\;$: Factor de eficiencia del ala

El coeficiente de arrastre de elevación cero de los aviones de hélice es de alrededor de 0,025 a 0,04, con el valor alto para los aviones de tren fijo y el más bajo para los de tren retráctil. Aumenta ligeramente con la altitud debido a la disminución del número de Reynolds por la caída de la temperatura. Aquí debe elegir un valor que sea apropiado para cada avión específico.

Permanecer en el mismo punto polar también significa que el peso influirá solo en la velocidad a la que el avión sube mejor, no en el coeficiente de sustentación. La velocidad$v$cambiará con la raíz cuadrada de la diferencia de peso, porque

$$v = \sqrt{\frac{m\cdot g}{\frac{\rho}{2}\cdot S_{ref}\cdot c_L}}$$ con $S_{ref}$siendo el área de referencia de la aeronave y $\rho$la densidad del aire

Junto al término de corrección$C$para aceleración Depende de la velocidad local del sonido, la constante de gas para aire húmedo$R_h$y el gradiente de temperatura (tasa de variación$\Gamma$) de la atmósfera. Esta respuesta explica en detalle cómo se calcula y repito aquí solo el resultado para condiciones atmosféricas estándar:

$$C = 1 - 0.13335\cdot Ma^2 + \frac{(1+0.2\cdot Ma^2)^{3.5}-1}{(1+0.2\cdot Ma^2)^{2.5}}$$ con $Ma$siendo la relación entre la velocidad de vuelo y la velocidad local del sonido.

Ahora tu velocidad de ascenso$v_z$se convierte

$$v_z = \frac{v}{C}\cdot sin\gamma = \frac{v}{C}\cdot\frac{T\cdot cos(\sigma)-D}{m\cdot g} = \frac{P\cdot\eta_{prop}\cdot cos(\sigma) - D\cdot v}{C\cdot m\cdot g}$$ con $\eta_{Prop}$la eficiencia de la hélice y $P$la potencia del freno del motor a la altitud dada y el ajuste del acelerador.

Esto deja un montón de variables desconocidas para calcular correctamente la tasa de ascenso:

• potencia del motor
• Coeficiente de arrastre de sustentación cero de la aeronave
• eficiencia de la hélice

Por lo tanto, será mejor buscar las posibles velocidades de ascenso a varias altitudes y configuraciones de potencia de cada POH e interpolar entre esos valores. O se conforma con una aproximación y usa valores de regla empírica para los parámetros desconocidos.

• por$\epsilon$asumir 0.8
• por$\sigma$asumir cero
• por$c_{D0}$suponga 0,026 a baja y 0,03 a gran altitud para tren retraído y 0,035 a baja y 0,04 a gran altitud para tren fijo.
• por$D$utilizar$\left(c_{D0} + \frac{c_L^2}{AR\cdot\pi\cdot\epsilon} \right) \cdot\frac{\rho\cdot v^2\cdot S_{ref}}{2}$
• por$\eta_{Prop}$utilice 0,75 para una hélice de paso fijo y 0,8 para una hélice de velocidad constante.
• para motores normalmente aspirados, reduzca la potencia proporcionalmente con la densidad. Para motores turboalimentados, suponga una potencia constante hasta su altura crítica y reduzca la potencia en proporción a la densidad por encima de eso. Deje que los usuarios de su programa establezcan la configuración del acelerador por sí mismos.

Cuando tenga gráficos de rendimiento disponibles, compare sus resultados con las cifras publicadas y modifique las variables para obtener un buen ajuste. Por ejemplo, mire la velocidad de ascenso óptima publicada y ajuste$c_{D0}$hasta que su resultado, tomado del coeficiente de sustentación óptimo, esté de acuerdo. Y así. Esto debería darte resultados muy útiles.