Teorema de superposición
" El teorema de superposición para circuitos eléctricos establece que para un sistema lineal la respuesta (voltaje o corriente) en cualquier rama de un circuito lineal bilateral que tenga más de una fuente independiente es igual a la suma algebraica de las respuestas causadas por cada fuente independiente actuando sola , donde todas las demás fuentes independientes se sustituyen por sus impedancias internas .

¿Qué tipos de circuitos se pueden resolver por superposición?

Los circuitos hechos de cualquiera de los siguientes componentes se pueden resolver usando el teorema de superposición

• fuentes independientes
• Elementos pasivos lineales: resistencia, condensador e inductor
• Transformador
• Fuentes dependientes lineales

¿Cuáles son los pasos para resolver un circuito usando el teorema de superposición?

Sigue el algoritmo:

1. Respuesta = 0;
2. Seleccione la primera fuente independiente.
3. Reemplace todas las fuentes independientes en el circuito original excepto la fuente seleccionada con su impedancia interna.
4. Calcule la cantidad (voltaje o corriente) de interés y agréguela a Respuesta.
5. Salga si esta fue la fuente independiente final. De lo contrario, vaya al paso 3 con la selección de la siguiente fuente.

La impedancia interna de una fuente de tensión es cero y la de una fuente de corriente es infinita. Así que reemplace la fuente de voltaje con un cortocircuito y la fuente de corriente con un circuito abierto mientras ejecuta el paso 3 en el algoritmo anterior.

¿Cómo se tratan los diferentes tipos de fuentes al resolver por superposición?

Las fuentes independientes deben ser tratadas como se explicó anteriormente.

En caso de fuentes dependientes, no las toque.

La superposición solo se aplica cuando tiene un sistema puramente lineal, es decir:

$$\begin{align*} F(x_1 + x_2) &= F(x_1) + F(x_2)\\ F(a x) &= a F(x) \end{align*}$$

En el contexto del análisis de circuitos, el circuito debe estar compuesto por elementos lineales (condensadores, inductores, transformadores lineales y resistencias) con N fuentes independientes, y lo que está resolviendo debe ser voltajes o corrientes. Tenga en cuenta que puede tomar una solución superpuesta a voltaje/corriente para encontrar otras cantidades que no sean lineales (por ejemplo, potencia disipada en una resistencia), pero no puede superponer (agregar) cantidades no lineales para encontrar la solución para una mayor sistema.

Por ejemplo, tomemos una sola resistencia y observemos la ley de Ohm (estoy usando U y J para voltaje/corriente respectivamente, sin ninguna razón en particular) y veamos cómo contribuyó la corriente desde la fuente$i$afecta el voltaje:

$$\begin{align*} U = J R = R \left(\sum_{i=1}^N J_i\right) = \sum_{i=1}^N R J_i = \sum_{i=1}^N U_i \end{align*}$$

Entonces puedo encontrar el voltaje a través de una resistencia sumando la contribución actual de cada fuente independientemente de cualquier otra fuente. De manera similar, para encontrar la corriente que fluye a través de la resistencia:

$$\begin{align*} J = \frac{U}{R} = \frac{1}{R} \sum_{i=1}^N U_i = \sum_{i=1}^N \frac{U_i}{R} = \sum_{i=1}^N J_i \end{align*}$$

Sin embargo, si empiezo a mirar el poder, la superposición ya no se aplica:

$$\begin{align*} P = J U = \left(\sum_{i=1}^N J_i\right) \left(\sum_{j=1}^N U_j\right) \neq \sum_{i=1}^N J_i U_i = \sum_{i=1}^N P_i \end{align*}$$

El proceso general para resolver un circuito usando superposición es:

1. Para cada fuente$i$, reemplace todas las demás fuentes con su fuente nula equivalente, es decir, las fuentes de voltaje se vuelven 0V (cortocircuitos) y las fuentes de corriente se vuelven 0A (circuitos abiertos). Encuentra la solución$F_i$, para cualquier incógnita que le interese.
2. La solución final es la suma de todas las soluciones.$F_i$.

Ejemplo 1

Tome este circuito con dos fuentes:

^{simular este circuito : esquema creado con CircuitLab}

Quiero resolver la corriente J que fluye a través de R1.

Elija V1 como fuente 1 e I1 como fuente 2.

Resolviendo para$J_1$, el circuito se convierte en:

^{simular este circuito}

Entonces sabemos que$J_1 = 0$.

Ahora resolviendo para$J_2$, el circuito se convierte en:

^{simular este circuito}

Entonces podemos encontrar que$J_2 = I_1$.

Aplicando superposición,

$$\begin{align*} J = J_1 + J_2 = 0 + I_1 = I_1 \end{align*}$$

Ejemplo 2

^{simular este circuito}

Ahora estoy interesado en el actual a través de R4$J$. Siguiendo el proceso general descrito anteriormente, si denoto V1 como fuente 1, V2 como fuente 2 e I1 como fuente 3, puedo encontrar:

$$\begin{align*} J_1 &= -\frac{V_1}{R_1 + R_2 + R_5 + R_4}\\ J_2 &= \frac{V_2}{R_2 + R_1 + R_4 + R_5}\\ J_3 &= -I_1 \frac{R_2 + R_5}{R_1 + R_4 + R_2 + R_5} \end{align*}$$

Así la solución final es:

$$\begin{align*} J &= J_1 + J_2 + J_3 = \frac{V_2 - V_1}{R_1 + R_2 + R_4 + R_5} - I_1 \frac{R_2 + R_5}{R_1 + R_2 + R_4 + R_5} = \frac{(V_2 - V_1) - I_1 (R_2 + R_5)}{R_1 + R_2 + R_4 + R_5} \end{align*}$$

El poder de la superposición proviene de hacer la pregunta "¿qué pasa si quiero agregar/eliminar una fuente?" Digamos, quiero agregar una fuente actual I2:

^{simular este circuito}

En lugar de comenzar desde el principio, lo único que debo hacer ahora es encontrar la solución para mi nueva fuente I2 y agregarla a mi solución anterior:

$$\begin{align*} J_4 &= I_2 \frac{R_1 + R_2 + R_5}{R_1 + R_2 + R_5 + R_4}\\ J &= \sum_{i=1}^4 J_i = \frac{(V_2 - V_1) - I_1 (R_2 + R_5) + I_2 (R_1 + R_2 + R_5)}{R_1 + R_2 + R_4 + R_5} \end{align*}$$