¿Cómo sería la tabla periódica de un universo de 4 dimensiones?

En cuatro dimensiones, no tienes un eje de rotación (línea recta fija) sino un plano de rotación ( plano fijo). Sin embargo, no todas las rotaciones 4D tienen un plano de rotación; hay rotaciones que no tienen puntos fijos (excepto el origen). De hecho, las rotaciones en 4 dimensiones tienen seis parámetros en lugar de los tres que conocemos del espacio 3D. El grupo de rotación correspondiente se conoce como$SO(4)$(Opuesto a$SO(3)$para el espacio 3D). Puedes leer todo al respecto en Wikipedia.

Para obtener el espín cuántico correspondiente, tenemos que buscar su grupo de cobertura universal. La cubierta universal de$SO(4)$es$S^3_L\times S^3_R$(ver el artículo de Wikipedia vinculado) que es una doble portada de$SO(4)$(al igual que en el$SO(3)$caso). Aquí$S^3$es el grupo de cuaterniones unitarios. Dado que el grupo de cuaterniones unitarios es isomorfo a$SU(2)$, esto significa que la cubierta universal de$SO(4)$es isomorfo a$SU(2)\times SU(2)$.

Esto le da una estructura mucho más rica al espín de las partículas de 4 dimensiones. Mientras que en tres dimensiones, la representación está etiquetada por un número (el giro total), las partículas de cuatro dimensiones se clasifican por dos números, que podrían denominarse giro a la izquierda y giro a la derecha, correspondientes a las rotaciones de Clifford izquierda y derecha. .

La partícula más simple seguiría siendo la partícula sin espín, con espín$(0,0)$. Sin embargo, las partículas más bajas sin espín vendrían en dos tipos, con espín$(1/2,0)$y$(0,1/2)$. Cada uno de ellos tendría sólo dos niveles. Sin embargo, podría ser que haya una simetría adicional entre el giro a la izquierda y el giro a la derecha, en cuyo caso esos dos tipos de partículas diferentes podrían verse como un tipo de partícula con cuatro estados de giro diferentes. Sin embargo, eso no es realmente necesario; es igualmente posible que las partículas con espín$(1/2,0)$se distinguen de las partículas con espín$(0,1/2)$.

Sin embargo, por simplicidad supongamos que efectivamente existe tal simetría. Y supongamos que los electrones son tales$\{1/2,0\}$partículas (usando llaves para enfatizar que el orden ya no importa ya que todos los pedidos están incluidos). Entonces, de hecho, obtendría cuatro electrones por nivel (ignorando los efectos de estructura fina).

Sin embargo, ese no sería el único efecto en la tabla periódica: también el momento angular de la órbita de los electrones estaría guiado por los dos números cuánticos; sin embargo, en analogía con el caso 3D, solo obtendría$SO(4)$representaciones (es decir, números cuánticos enteros). Entonces, donde obtienes un par de números cuánticos$l$y$m$para 3D, obtendrías dos de ellos para 4D.

Entonces, suponiendo que el número cuántico principal no se vea afectado, obtendría los siguientes números cuánticos orbitales:

(n; l1, m1; l2, m2; s1; s2)

Suponiendo que en el orden principal la energía todavía está dominada por$n$, y las restricciones de$l$son individualmente como en 3D (uno podría verificar eso explícitamente, pero eso es más de lo que estoy dispuesto a hacer a altas horas de la noche), por lo tanto, obtendría las siguientes degeneraciones más bajas para cada$n$(levantado por una estructura fina), dado por (momento angular izquierdo) × (momento angular derecho) × (giros):

• $n=1$: cuádruple degeneración ($1\times 1\times 4$)
• $n=2$:$64$-degeneración de pliegues ($4\times 4\times 4$)
• $n=3$:$324$-degeneración de pliegues ($9\times 9\times 4$)

Tenga en cuenta que cuando se llenan las tres primeras capas, ya estamos en el elemento número 392.

Desafortunadamente, no sé lo suficiente sobre física nuclear para decir cuáles serían los números mágicos y hasta qué número de elementos los núcleos seguirían siendo estables.

Tenga en cuenta también que incluso si asume que$(1/2,0)$-partículas de espín y$(0,1/2)$-las partículas de espín no son equivalentes y los electrones son, por ejemplo,$(1/2,0)$partículas, esto sólo reduciría los números anteriores a la mitad.

Editar: noté que pasé por alto la diferencia más crucial en cuatro dimensiones: gracias a la ecuación de Maxwell$\vec\nabla\cdot\vec E = \rho/\epsilon_0$obtenemos por una carga puntual en$d$dimensiona un campo que cae como$1/r^{d-1}$, y por lo tanto un potencial que cae como$1/r^{d-2}$. Para cuatro dimensiones, esto tiene consecuencias de largo alcance:

• En mecánica cuántica, un atractivo$1/r^2$potencial no tiene estado fundamental. Ahora, el potencial real se desviará del del núcleo, ya que el núcleo tiene un tamaño finito. Sin embargo, eso significa que la posición del estado fundamental depende mucho de la distribución de carga del núcleo; a diferencia de las tres dimensiones, la aproximación como carga puntual no funcionará bien. Esto significa que la tabla periódica puede estar bastante desordenada, ya que la distribución de carga no solo depende de la cantidad de protones, sino también de la cantidad de neutrones (porque ese número entra en el tamaño). Esto podría causar diferencias notables entre los átomos que solo se diferencian en el número de neutrones (y por lo tanto en nuestro mundo 3D tendrían básicamente las mismas propiedades).
• Dado que el potencial centrífugo también va con$1/r^2$(pero es repulsivo) independientemente de la dimensión , y por lo tanto en 4D tendría la misma forma que la fuerza de atracción del núcleo, fuera del núcleo cualquier momento angular simplemente actuaría como una reducción de la carga del núcleo. Esto significa especialmente que hay un momento angular máximo que se puede lograr antes de que los electrones dejen de unirse.