En tres dimensiones espaciales, ¿sería posible tener una fuerza que disminuye con el inverso de la distancia?

En nuestro universo, la fuerza eléctrica y gravitatoria disminuyen con$r^{-2}$debido a la ley del cuadrado inverso .

Imagine una capa esférica alrededor de una fuente puntual. El área de una capa en algún radio$R$es$4\pi R^2$; por lo tanto, el flujo a través de esa capa se reduce por un factor de$r^{-2}$. Esto es cierto en tres dimensiones y puede probarse matemáticamente. En$N$dimensiones, una fuerza siempre disminuirá en$r^{N-1}$. Esto se puede probar de manera similar.

Entonces, desafortunadamente, su escenario es imposible en tres dimensiones.

Si es así, ¿podría tal fuerza tener un alcance infinito?

Una de las mejores cosas de tener una fuerza que disminuye en$r^{N-1}$es que no importa cuán lejos esté un objeto, siempre habrá alguna fuerza distinta de cero entre dos partículas. Siempre. Puede ser muy pequeño, pero será distinto de cero. La fuerza siempre tendrá un alcance infinito.

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Prueba del coeficiente de área superficial (ver estas notas ):

Técnicamente, el término "esfera" se refiere sólo a la$N-1$-superficie dimensional; "pelota" se refiere a la$N$-región dimensional. Usaré esos términos en la siguiente demostración.

El volumen de un$n$-ball es proporcional a alguna potencia de su radio:

$$V_N=C_Nr^N\tag{1}$$ Imaginemos un $n-1$capa esférica -dimensional. La relación volumen-área es bien conocida: $$\mathrm{d}V_n=A_n\mathrm{d}r\to A_n=\frac{\mathrm{d}V_N}{\mathrm{d}r}\tag{2}$$ podemos diferenciar $(1)$por la regla de la potencia para obtener $$\frac{\mathrm{d}V_N}{\mathrm{d}r}=C_NNr^{N-1}\tag{3}$$ Tómese, en aras de la conjetura, la integral $$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-r^2}\mathrm{d}V_N\tag{4}$$ Podemos reescribir esto como $$\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}x_1\cdots\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}x_Ne^{-x_1^2-x_2^2-\cdots-x_N^2}\tag{5}$$ Este último paso se realiza porque $$V_N=x_1x_2\cdots x_N$$ entonces tenemos $$\left(\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}xe^{-x^2}\right)^N=\pi^{N/2}\tag{6}$$ Una vez más, esto se debe a la igualdad de todos $x_k$s. Sustituyendo en $\mathrm{d}V_N=A_N\mathrm{d}r$, tenemos $$\int_0^{\infty}e^{-r^2}A_N\mathrm{d}r=C_NN\int_0^{\infty}e^{-r^2}r^{N-1}\mathrm{d}r=\frac{C_NN}{2}\int_0^{\infty}e^{-s}s^{N/2-1}\tag{7}$$ Resolviendo esta integral usando la función gamma, obtenemos $$\frac{C_NN}{2}\Gamma(N/2)=C_N(N/2)!\to C_N=\frac{\pi^{N/2}}{(N/2)!}\tag{8}$$ Finalmente, esto nos da $$A_N=N\frac{\pi^{N/2}}{(N/2)!}r^{N-1}\to A_N\propto r^{N-1}\tag{9}$$ ¿Por qué usamos $$\int_{\infty}^{\infty}e^{-r^2}\mathrm{d}V\text{ ?}$$ Bueno, resulta que esto se convierte en $\sqrt{\pi}^N$, un factor que sabemos surgirá al encontrar el área superficial o el volumen de cualquier esfera. Simplemente estamos usando las integrales para calcular ese factor y el resto del coeficiente $C_N$.

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Una prueba mucho más simple (¡que va al grano!)

En realidad, este es un método realmente simple, pero es posible que no lo piense de inmediato. Una respuesta de Colin Pratt en Mathematics Stack Exchange ofrece una buena introducción de 30 segundos sobre el$N=3$caso.

Primero, calculemos el volumen de un$N$-esfera. Podemos hacer referencia a lo que hicimos arriba y notar que el volumen de la región en$N$El espacio dimensional se puede encontrar por

$$\int\cdots\int_V\mathrm{d}x_1\cdots\mathrm{d}x_N$$ Sin embargo, podemos traducir esto a coordenadas hiperesféricas . Encontramos que el elemento de volumen es $$\mathrm{d}V=r^{N-1}\left(\prod_{i=2}^{N-1}\sin^{N-i}(\phi_i)\right)\mathrm{d}r\mathrm{d}\phi_1\cdots\mathrm{d}\phi_{n-1}$$ Luego integramos esto para encontrar el volumen de la esfera. Sin embargo, tenga cuidado al elegir sus límites.

A continuación, podemos encontrar el área de la superficie a través del volumen. Suficientemente interesante,

$$\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r}=A$$ para todas las dimensiones de $N$. Tampoco es una coincidencia. Por lo tanto, si conocemos el volumen, podemos encontrar el área de la superficie.

Si asume que el estado natural del universo es que todo se agrupe en una singularidad cósmica, entonces puede redefinir la gravedad como "la fuerza que evita que eso suceda", que aumenta con la distancia a un objeto.

Tome las siguientes declaraciones:

1: El estado natural del universo si para que todo esté en un solo lugar, y el universo ejerce una fuerza para provocar esto. Esta es la afirmación que debe asumirse.

2: No todo está en un solo lugar, y las cosas están en reposo.

3: Por lo tanto, hay una fuerza que evita que todo esté en un solo lugar que se equilibra contra el colapso universal. Sabemos por experiencia que sentimos esta fuerza con menos fuerza en la superficie del planeta y con más fuerza a medida que nos alejamos de él.

4: Por lo tanto, esta fuerza aumenta como el inverso del cuadrado de la distancia a un objeto.

Todo es cuestión de perspectiva. Lamentablemente, esa perspectiva particular es bastante artificial, contraria a la intuición y realmente no es tan útil, ya que es más simple suponer que el estado natural del universo es estar en reposo y la fuerza atrae las cosas, lo que disminuye con el cuadrado de la distancia (también conocida como gravedad ). En este punto, se aplica la excelente respuesta de HDE 226868 sobre la naturaleza de las esferas y el flujo.

Por otro lado, si está construyendo un universo completamente diferente, los residentes de ese universo no tienen que tener la misma idea de lo que define simple. Tal vez sea más fácil para ellos asumir que el universo está constantemente tratando de colapsar. ¿Quién sabe?