¿Cómo se resuelve esta "paradoja" clásica en el electromagnetismo?

Cuando el imán se mueve, el campo eléctrico del imán está haciendo el trabajo, empujando a los portadores de corriente alrededor del cable. Cuando el imán está quieto y el alambre se está moviendo, el campo magnético produce una fuerza en los portadores de corriente, pero esta fuerza no hace trabajo , es la fuerza de restricción que mantiene a los electrones en el alambre la que está haciendo el trabajo. La paradoja se resuelve observando que el cable se mueve, por lo que la restricción no es independiente del tiempo.

La fuerza de restricción es perpendicular a la superficie del cable que empuja a los portadores de carga en la dirección del movimiento (porque todo se mueve). Esta fuerza está haciendo el trabajo sobre los portadores de carga en este marco (aunque es algo extraño pensar en una fuerza de restricción haciendo trabajo).

El empuje de los portadores de corriente contra la fuerza de restricción del cable genera la fuerza de ruptura en el cable, lo que lo ralentiza para conservar energía, ya que la resistencia emite calor.

No hay paradoja: los dos marcos de referencia tienen respuestas diferentes a la pregunta "cuánto trabajo se está haciendo", de hecho. Es porque el "trabajo realizado" no es más que energía y la energía no es un invariante relativista; es el componente de tiempo de un cuadrivector. Según la relatividad, varias cantidades son dependientes del observador, es decir, relativas, una justificación del nombre "relatividad", y la energía es una de ellas.

Desde el punto de vista del imán, la energía de los electrones puede conservarse pero no así el impulso. Como la energía desde la perspectiva de la bobina es una mezcla de la energía y la cantidad de movimiento en el marco de referencia del imán, y como la cantidad de movimiento cambia desde el punto de vista del imán, se deduce que la energía del electrón cambia desde el punto de vista de la bobina.

Dicho esto, aún se debe enfatizar que las energías aumentadas/disminuidas de los electrones individuales se promedian alrededor de la bobina.

No estoy muy seguro de esto, pero lo explicaría de esta manera: (vamos$\mathfrak{M}$el marco de referencia del imán,$\mathfrak{C}$〃〃〃〃〃 la bobina)

1. Inicialmente no se realiza ningún trabajo en$\mathfrak{C}$, o bien: los electrones están en reposo al principio. Solo una vez que la fuerza ha comenzado a acumular cierta velocidad, hay un poder finito.
2. En$\mathfrak{M}$, los electrones también acumulan velocidad. Incluso en las partes del cable que ingresan al campo perpendicularmente (más o menos), de modo que los electrones se desvían inicialmente en la dirección del cable, la fuerza eventualmente (cuando los electrones se mueven en el cable) apuntará en una dirección diferente a la alineación del cable. Una vez que esto sucede, solo el componente de fuerza en la dirección del cable entrará en acción, por lo que la dirección de la fuerza efectiva ya no es perpendicular a la dirección de movimiento de los electrones. Para decirlo de otra manera: cuando los electrones son empujados hacia un lado del cable,$\rho$se vuelve macroscópicamente no trivial, resultando en un campo eléctrico debido a$\nabla\mathbf{D}\propto\rho$.

"No hay trabajo porque la fuerza es perpendicular a la velocidad". No creo que eso sea correcto. La v en su fórmula qv x B es la velocidad de la bobina, pero no es la velocidad de los electrones. Los electrones se mueven dentro de la bobina y se mueven en la dirección en que la fuerza los empuja: perpendicular a la velocidad de la bobina. Entonces, ¿cómo no hay una fuerza que empuja a los electrones?

EDITAR: en respuesta al comentario de Ron sobre la fuerza de restricción, lo he resuelto y creo que la siguiente imagen mostrará lo que está sucediendo:

El cable se trata como un tubo lleno de electrones, y el electrón azul que se muestra en realidad está justo contra la pared del tubo: a medida que el tubo se mueve hacia arriba, el electrón viaja a lo largo de la pared del tubo como lo muestra la flecha azul. Las dos fuerzas son la fuerza vxB, perpendicular al movimiento verdadero del electrón, y la fuerza de restricción, perpendicular a la pared del tubo. Creo que la imagen muestra que el trabajo real lo realiza ese COMPONENTE de la fuerza vxB que está en línea con ese COMPONENTE de la velocidad del electrón que está a lo largo de la dirección de la tubería.