¿Cómo se puede derivar la ecuación de estado para cuerdas cósmicas y paredes de dominio?

Mi cosmología de defectos topológicos está un poco oxidada, pero estoy bastante seguro de que así es como funciona. Comience con la ecuación del fluido,

$$\dot{\rho} + 3 {\dot{a} \over a} \left( \rho + p \right) = 0,$$ y la ecuación de estado, $$p = w \rho.$$ Inserte la ecuación de estado en la ecuación de fluido, suponga una constante $w$, y encontrarás $$\rho \propto a^{-3(1 + w)}.$$ Ahora encontraremos $\rho(a)$para cuerdas y sábanas, y leer $w$fuera de ellos Para cuerdas cósmicas, $\rho$es $$\rho_{\rm string} = \sum^N_i {\lambda L_i \over V},$$ dónde $N$es el número de cuerdas en nuestro horizonte cósmico, $\lambda$es la densidad lineal de las cuerdas, y $L_i$es la longitud de cada cadena.

Aquí está la clave: tenemos que suponer que la longitud de cualquier cuerda cósmica escala con la expansión del universo , ya que son defectos topológicos. Dada esta suposición, podemos obtener la dependencia de$\rho_{\rm string}$sobre$a$:

$$\rho_{\rm string}(a) \propto {a \over a^3} = a^{-2}.$$ Por lo tanto, $$2 = 3(1 + w_{\rm string}),$$ y $w_{\rm string} = -{1 \over 3}$.

De manera similar, para paredes de dominio,$\rho$es

$$\rho_{\rm wall} = \sum^N_i {\sigma A_i \over V},$$ y desde $A_i \propto a^2$, obtenemos $w_{\rm wall} = -{2 \over 3}$.

¡Espero que ayude!