Comprender mejor los factores de ClClC_l en el espectro de potencia angular y la relación con el espectro de potencia de la materia

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Comprender mejor los factores de ClClC_l en el espectro de potencia angular y la relación con el espectro de potencia de la materia

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espectros
cosmología
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youpilat13

Estoy buscando una explicación sobre el espectro de potencia angular. Encontré este extracto que es interesante pero que no entiendo completamente para mí (citaré el paso que no entendí)

"lo que se hace es tomar el mapa del cielo CMB y realizar una transformación armónica esférica en él. Una transformación armónica esférica es básicamente el mismo concepto general que una transformada de Fourier, pero los armónicos esféricos son mutuamente ortogonales en la superficie de un esfera, así:

F (θ, ϕ) = \sum_{yo metro} a_{yo metro} Y (θ, ϕ)_{yo}^{metro}

$f(\theta, \phi)=\sum_{l m} a_{l m} Y(\theta, \phi)_{l}^{m}$ Aquí, el índice "I" denota el número de oscilaciones, y el índice "m" es una forma de codificar la dirección de oscilación en la esfera y varía de "-l" a "I". Por ejemplo,

I = 0

$I=0$ es cero oscilacion: este es el monopolo que marca la escala global.

I = 1

$I=1$ es un dipolo: una oscilación completa sobre la esfera, y hay tres direcciones posibles

(x, y

$(x, y$ , y

z)

$z)$ . Vaya a valores de I más y más altos, y obtendrá más (y por lo tanto más pequeñas) oscilaciones y más direcciones posibles para esas oscilaciones. La forma en que se escriben típicamente, las funciones armónicas esféricas

Y (θ, ϕ)_{yo}^{metro}

$Y(\theta, \phi)_{l}^{m}$ son funciones complejas y, por lo tanto, los coeficientes son complejos. Sin embargo, este es un problema menor. Para construir el espectro de potencia, hacemos un promedio sobre las direcciones. Esto se hace de la siguiente manera:

C_{yo} = \frac{1}{2 yo + 1} \sum_{metro = - yo}^{yo} a_{yo metro} a_{yo metro}^{*}

$C_{l}=\frac{1}{2 l+1} \sum_{m=-l}^{l} a_{l m} a_{l m}^{*}$

Finalmente, al construir esa parcela, puede notar que el eje vertical no es

C_{yo} yo

$C_{l} l$ pero es en cambio $C_{yo} yo (yo + 1) / 2 π$ $C_{l} l(l+1) / 2 \pi$ Resulta que si tuviéramos un espectro de potencia uniforme en un intervalo logarítmico en I, entonces multiplicando dicha función por $yo (yo + 1) / 2 π$ $l(l+1) / 2 \pi$ nos daría una constante. Así esta multiplicación nos permite interpretar la función más fácilmente, porque la inflación predice que el espectro de potencia primordial, el generado inicialmente por la inflación, sería casi una constante en este espacio.

Si la inflación es cierta, entonces, todas las características que ves en un espectro de potencia escrito como arriba que se desvían de una constante se derivan de la dinámica del universo entre la inflación y la emisión del big bang (más algunas modificaciones muy leves entre nosotros y el CMB). Por ejemplo, la larga cola de amortiguación en I alta se deriva del hecho de que la superficie de emisión de la CMB no es instantánea: la transición de fase de un plasma a un gas ocurrió con el tiempo, y la borrosidad resultante de la señal amortigua la pequeña- fluctuaciones de escala. También está la relación entre los picos pares e impares del espectro de potencia. Esto ocurre debido a las diferencias en la física entre la materia normal y la materia oscura: la materia oscura simplemente cae en pozos potenciales, mientras que la materia normal rebota.

1) Primer problema:

Lo que tengo dificultades para comprender es que el significado de "eje vertical" no es:

C_{yo} yo

$C_{l} l$ pero es en cambio

C_{yo} yo (yo + 1) / 2 π

$C_{l} l(l+1) / 2 \pi$

¿Qué significa "eje vertical" en este contexto? ¿Cómo probar eso?

2) Segundo problema:

Y después dicen: "Resulta que si tuviéramos un espectro de potencia que fuera uniforme en un intervalo logarítmico en I, entonces multiplicando dicha función por

yo (yo + 1) / 2 π

$l(l+1) / 2 \pi$ nos daría una constante. Por lo tanto, esta multiplicación nos permite interpretar la función más fácilmente, porque la inflación predice que el espectro de energía primordial, el generado inicialmente por la inflación, sería casi una constante en este espacio".

No entiendo cual es el truco para hacer el producto por

yo (yo + 1) / 2 π

$l(l+1) / 2 \pi$ siendo constante. Es muy preocupante ya que el espectro de potencia angular no es constante por ejemplo con el espectro angular de CMB.

3) Solo una precisión:

en un enlace de mi publicación anterior ( enlace anterior ) ¿Por qué el escritor dice "Cómo escribir el espectro de potencia 3D, $P_{k}$ , como una integral del espectro de potencia angular, $C_{\ell}$ ?" mientras que de otro autor, no es la relación directa entre el espectro de potencia angular y el espectro de potencia de la materia.

Por cierto, ¿alguien podría escribir la fórmula completa que une estas 2 cantidades ( $C_{\ell}$ y $P_k$ ) ?

Se lo agradecería ya que estoy un poco confundido entre la función de correlación angular y el espectro de potencia de la materia y las funciones esféricas de Bessel.

Si alguien pudiera darme aclaraciones sobre estos 2 puntos, se lo agradecería.

Respuestas (1)

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laaliciaequivocada · Answer 1

Creo que puedo responder a su primera/segunda pregunta . Es un poco difícil adivinar cuáles son tus antecedentes, pero espero que hayas visto o deducido en alguna parte que el $a_{lm}$ Los coeficientes se pueden escribir como

\oint Θ (\hat{X}) Y_{yo metro}^{*} (\hat{X}) d \hat{X}

$\oint \Theta(\hat{x}) Y_{lm}^*(\hat{x}) d\hat{x}$ dónde

Θ

$\Theta$ es la fluctuación de temperatura (como se ve en el CMB) y

Y_{l m}^{*}

$Y_{lm}^*$ es (el complejo conjugado de) un armónico esférico. Tenga en cuenta que

\vec{x} = (θ, ϕ)

$\vec{x} = (\theta, \phi)$ ,

\hat{x}

$\hat{x}$ es el vector unitario paralelo a

\vec{x}

$\vec{x}$ y

\hat{k}

$\hat{k}$ es el vector unitario paralelo a

\vec{k}

$\vec{k}$ .

k

$k$ es la longitud de

\vec{k}

$\vec{k}$ . En cosmología hay un efecto llamado efecto Ordinario Sachs-Wolfe, que tiene que ver con el desplazamiento hacia el rojo o hacia el azul debido a las sobredensidades de la materia. En esta teoría, encuentras una expresión para

Θ

$\Theta$ cual es

Θ = \frac{1}{3} Φ = \sum_{k} \frac{1}{3} Φ_{k} {mi}^{i \vec{k} \cdot \vec{X}}

$\Theta = \frac{1}{3}\Phi = \sum_k \frac{1}{3}\Phi_k e^{i\vec{k}\cdot \vec{x}}$ dónde

Φ

$\Phi$ es el potencial de Bardeen. Puedes sustituir esta expresión en la ecuación de la

a_{l m}

$a_{lm}$ y luego puedes usar la expansión de una onda plana, que es así:

{mi}^{i \vec{k} \cdot \vec{X}} = 4 π \sum_{yo metro} i^{yo} j_{yo} (k X) Y_{yo metro} (\hat{X}) Y_{yo metro}^{*} (\hat{k})

$e^{i\vec{k}\cdot \vec{x}} = 4\pi\sum_{lm} i^l j_l(kx) Y_{lm}(\hat{x})Y_{lm}^*(\hat{k})$ Entonces obtienes

a_{yo metro} = \frac{4 π}{3} \sum_{k} Φ_{\vec{k}} \sum_{yo metro} i^{yo} Y_{{yo}^{'} {metro}^{'}}^{*} (\hat{k}) j_{{yo}^{'}} (k X) \oint Y_{yo metro}^{*} (\hat{X}) Y_{{yo}^{'} {metro}^{'}} (\hat{X}) d Ω

$a_{lm} = \frac{4\pi}{3}\sum_k \Phi_\vec{k} \sum_{lm} i^l Y_{l'm'}^*(\hat{k}) j_{l'}(kx)\oint Y_{lm}^*(\hat{x}) Y_{l'm'}(\hat{x}) d\Omega$ Debido a la ortonormalidad de los armónicos esféricos, esto se convierte en

a_{yo metro} = \frac{4 π}{3} i^{yo} \sum_{k} Φ_{\vec{k}} j_{yo} (k X) Y_{yo metro}^{*} (\hat{k})

$a_{lm} = \frac{4\pi}{3}i^l \sum_k \Phi_\vec{k} j_l(kx) Y_{lm}^*(\hat{k})$

Es posible que también te hayas encontrado con la expresión para el $C_l$ :

C_{yo} = \frac{1}{2 yo + 1} \sum_{metro} mi [| a_{yo metro} |^{2}]

$C_l = \frac{1}{2l + 1}\sum_m E[|a_{lm}|^2]$ que por lo anterior es proporcional a

C_{yo} \propto \frac{1}{2 yo + 1} \sum_{metro} \sum_{k k^{'}} mi [Φ_{\vec{k}} Φ {\vec{k}}^{'}] j_{yo} (k^{'} X) j_{yo} (k X) Y_{yo metro}^{*} (\hat{k}) Y_{yo metro} ({\hat{k}}^{'})

$C_l \propto \frac{1}{2l + 1}\sum_m \sum_{kk'} E[\Phi_\vec{k} \Phi{\vec{k}'}] j_l(k'x) j_l(kx) Y_{lm}^*(\hat{k}) Y_{lm}(\hat{k}')$ El E[ ] es la matriz de covarianza. Si

Φ_{\vec{k}}

$\Phi_\vec{k}$ es una variable aleatoria, entonces

E [Φ_{\vec{k}} Φ_{\vec{k^{'}}}] \propto k^{n - 4} δ_{k k^{'}}

$E[\Phi_\vec{k} \Phi_\vec{k'}] \propto k^{n - 4}\delta_{kk'}$ No estoy seguro de cómo mostrar esto rápidamente. Me temo que necesitas bastantes derivaciones para llegar a este punto. Se sigue en parte de la suposición de un espectro de potencia de la forma

P (k) \propto k^{n}

$P(k) \propto k^n$ . Usando esto encuentras

C_{yo} \propto \sum_{k} k^{norte - 4} j_{yo} (k X)^{2} \to \int_{0}^{\infty} k^{norte - 2} j_{yo} (k X)^{2} d k

$C_l \propto \sum_k k^{n - 4}j_l(kx)^2 \rightarrow \int_0^\infty k^{n - 2} j_l(kx)^2 dk$ si aproximamos la suma por una integral. Para un espectro de Harrison-Zel'dovich, que es un tipo especial de espectro de potencia, definido como

P (k) \propto k

$P(k) \propto k$ (entonces n=1), esto se convierte en

C_{yo} \propto \int_{0}^{\infty} j_{yo} (k X)^{2} \frac{d k}{k} = \frac{1}{2 yo (yo + 1)}

$C_l \propto \int_0^\infty j_l(kx)^2 \frac{dk}{k} = \frac{1}{2l(l + 1)}$ entonces, en el caso de un espectro de Harrison-Zel'dovich, la cantidad

l (l + 1) C_{l} / 2 π

$l(l + 1)C_l/2\pi$ es constante para el efecto Ordinario Zachs-Wolfe. Pusieron

l (l + 1) C_{l} / 2 π

$l(l + 1)C_l/2\pi$ en el eje y para facilitar la detección de este efecto, supongo.

Estaría muy interesado en ver una respuesta detallada a su última pregunta.

Muchas gracias por su ayuda, es amable de su parte dar una respuesta detallada. Estoy esperando también como usted una posible respuesta a mi última pregunta. Atentamente
1) ¿Podría reemplazar por favor todos los $x$ variables por $\theta$ para mayor visibilidad y claridad: lo siento, no quiero ser aburrido, pero esto es por conveniencia 2) el $k$ es el número de onda, ¿estamos bien? Gracias de antemano. Atentamente
@ youpilat13, sí, k es el número de onda. Es un vector, en realidad, y también lo es x, así que cada vez que los ves multiplicados, me refiero a un producto escalar donde $\vec{x} = (\theta, \phi)$
Sólo una última precisión: cuando escribes $j_l(kx)^2$ , ¿ cómo puedo entenderlo ? : es igual escribir $j_l(k\theta)^2$ o $j_l(k\phi)^2$ ? Saludos
@ youpilat13 lo siento, puede que me haya confundido un poco con mi propia notación. Revisé mis notas de cosmología y agregué todos los símbolos apropiados ahora. Espero que esto aclare un poco la confusión.
Lo siento, parece que soy yo quien está confundido por no entender con tus anotaciones. Si pudieras reemplazar en todas partes las variables $\theta$ y $\phi$ en lugar de $\vec{x} = (\theta, \phi)$ , , hay pasos donde es ambiguo, especialmente para las funciones de Bessel $j_l(kx)^{2}$ . Te agradecería que me hicieras este favor. Atentamente
.No es posible que escribas todas las ecuaciones con $\theta$ y $\phi$ variables? Lo siento, esto es para mi conveniencia, no quiero ser aburrido.

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