¿Cómo se lanzan los satélites geosincrónicos a una altura tan increíble?

La altitud es parte del problema. Suponiendo que quisieras llegar a GEO desde una órbita circular de 700 km de altitud, primero tendrías que hacer un avance de aproximadamente 2,24 km/s a lo largo de la dirección de la velocidad orbital para aumentar el apogeo de la órbita de transferencia (la media elipse):

La nave espacial normalmente no lo haría por sí misma, la etapa superior del lanzador normalmente lo inyectaría directamente en una órbita de transferencia geoestacionaria (GTO).

Sin embargo, lo que cada nave espacial tiene que hacer por sí misma es la circularización de la órbita una vez que alcanza la altitud geoestacionaria. Esto se hace haciendo otro encendido a lo largo de la dirección de la velocidad orbital, pero esta vez a 1,2 km/seg. Puede pensar en esta quemadura como un intento de elevar la altitud del perigeo y circular la órbita o hacer coincidir la velocidad de la nave espacial para que coincida con la velocidad de la órbita geoestacionaria. Cualquier cambio de inclinación también se realiza allí para reducir la masa del combustible necesario (cuanto más lento vaya, menos combustible necesitará para cambiar la inclinación en alguna cantidad).

Y así es como llegas a GEO. Entonces, el problema es, según la medida de delta-V, principalmente debido a la altitud, menos con respecto a la velocidad. El único problema es que cada nave espacial tiene que hacer la circularización por sí misma, lo que agrega cierta complejidad.

Los satélites se lanzan a un rango de alturas desde aproximadamente 160-1200 km (LEO) hasta 33800 km (geosincrónico).

La altitud no es el desafío aquí. La velocidad orbital es la parte difícil. De ScienceLearn:

aunque se necesita casi un millón de julios de energía para elevar una masa de 1 kg a una altitud de 100 km, se necesitan más de 30 millones de julios de energía adicional para darle la velocidad suficiente para permanecer en órbita alrededor de la Tierra.

Sin embargo, sus dos últimas oraciones son correctas: cuanto más lejos quiera ir, más propulsor necesitará llevar y mantendrá sus etapas encendidas por más tiempo. Sé que esto suena muy simplista, pero al final todo se reduce a esto: delta-V.

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Como ejemplo, Ariane 5 (PDF grande: manual de usuario de Ariane 5) generalmente entrega su carga útil en una órbita de transferencia geoestacionaria (una órbita elíptica con su punto más alto en la altitud geoestacionaria). A partir de ahí, los propios motores del satélite circulan la órbita.
Depende un poco del cohete: el Ariane 5 ECA tiene una segunda etapa que no se puede reiniciar, por lo que no puede hacer la quema de circularización. Con una segunda etapa reiniciable, es posible empujar el satélite a su órbita final, pero luego hay que hacer otra maniobra para sacar la etapa del cohete de la órbita geoestacionaria.