¿Cómo se desarrollan exactamente las proporciones de acordes?

Si multiplicas ambos lados de la razón por el mismo factor, la razón no cambia, así que 2:3 es lo mismo que 4:6 (solo toma el doble de tiempo). Entonces, en el tiempo que tarda la raíz en oscilar 4 veces, la tercera mayor oscila 5 veces y la quinta perfecta oscila 6 veces, dándonos una relación combinada de 4:5:6.

De manera más general, solo necesitamos ponerlo en la forma A1:B, A2:C. Si podemos hacer que ambos As sean el mismo número, podemos fusionarlos en la forma A:B:C. La forma más sencilla de hacer esto es multiplicar ambos lados de A1:B por un factor de A2 y ambos lados de A2:C por un factor de A1. Con una tercera menor y una quinta justa obtenemos las proporciones 5:6 y 2:3. (5:6)×2=10:12; (2:3)×5=10:15; combínalos y obtenemos la proporción 10:12:15 de una tríada menor.

En cuanto a la tríada disminuida, la proporción más precisa que puedo encontrar para una quinta tenue es 64:77. Usando el proceso anterior en 5:6 y 64:77 obtenemos 320:384:462, pero como todos estos son divisibles por 2 es equivalente a 160:192:231 (de la misma manera que 4:6 es equivalente a 2 :3). Resulta que 160:192:231 es en realidad la proporción armónica exacta de una tríada disminuida. Como ya estamos estropeando las cosas con temperamento igual, lo aproximamos cambiándolo a 160:192:23 2 (que es bastante insignificante) y reduciéndolo por un factor de 8 para obtener 20:24:29.

¿De dónde "vienen" estas proporciones de números pequeños? La gente ha tratado de encontrar números pequeños y agradables para las relaciones de frecuencia, y eso fue lo más pequeño y agradable que pudieron obtener. Wikipedia cuenta la historia https://en.wikipedia.org/wiki/Just_intonation

A:B:C es una forma condensada de enumerar las relaciones de las frecuencias de un acorde de tres notas. Todos estos significan la misma proporción:

• 4 : 5 : 6
• 4Hz : 5Hz : 6Hz
• 400Hz : 500Hz : 600Hz
• 440Hz : 550Hz : 660Hz
• 444Hz : 555Hz : 666Hz
• 500Hz : 625Hz : 750Hz
• 600Hz : 750Hz : 900Hz
• 800Hz : 1000Hz : 1200Hz
• 1000Hz : 1250Hz : 1500Hz

Para temperamento igual, un acorde mayor se expresaría como:

• 1 : 2^(4/12) : 2^(7/12)

Bastante bonito y limpio, ¿eh? Simplemente escribe los intervalos de semitonos y no tienes que descifrar ninguna cosa mágica de 4:5:6.

Como números decimales aproximados esto es:

• 1.000000000 : 1.25992105 : 1.498307077
• 1000.00000Hz : 1259.92105Hz : 1498.307077Hz

Las otras proporciones son similares. "10:12:15" se ve y suena más limpio que su contraparte de temperamento igual

• 1 : 2^(3/12) : 2^(7/12)
• 1.000000000 : 1.189207115 : 1.498307077
• 1000.000000Hz : 1189.207115Hz : 1498.307077Hz

Acorde disminuido, "20:24:29" para entonación muy justa, o para temperamento igual:

• 1 : 2^(3/12) : 2^(6/12)
• 1.000000000 : 1.189207115 : 1.414213562
• 440.000000Hz 523.251131Hz : 622.253967Hz
• 1000.000000Hz : 1189.207115Hz : 1414.213562Hz

lección de matemáticas

¿Qué es esto de 2^(1/12)? Es dos elevado a la potencia de un doceavo, que es otra forma de decir doceava raíz de dos. ¿Quizás recuerdas las potencias y las raíces de las matemáticas escolares? Si no, poder significa multiplicar algo por sí mismo varias veces. Al carecer de las instalaciones de composición tipográfica matemática adecuadas, a veces se escribe con el signo ^, por ejemplo, 4^2 = 4 * 4 = 16. En otras palabras, ese es el "cuadrado" de cuatro, o cuatro al cuadrado. ¿Quizás recuerdas que cuatro por cuatro es igual a dieciséis?

La raíz es al revés. La raíz cuadrada de 4 significa "qué número elevado a la potencia de dos es 4". Y son dos. Dos por dos es cuatro.

Otra forma de escribir la raíz cuadrada de cuatro es como una potencia, donde elevas el número cuatro a una potencia de un medio.

Cuando se habla de música, la octava significa una relación de frecuencia de dos. Si elevas un tono una octava más alto, su frecuencia se duplica, es decir, se multiplica por 2.

Si lo subes dos octavas, la frecuencia se multiplica por 2 dos veces. Tres octavas, multiplicar por 2 tres veces, etc. Cuantas octavas, tantas veces "* 2".

De acuerdo. ¿Qué pasa con la raíz duodécima? La raíz doceava de dos es la razón de un intervalo de semitono en temperamento igual. Si multiplicas una frecuencia por ese número doce veces, elevas el tono en 12 semitonos, que es una octava.

Como número decimal, la raíz doceava de dos es aproximadamente 1,059463094359295. Pruébelo: tome una calculadora o una hoja de cálculo y multiplique un número por eso doce veces.

En temperamento igual, podemos obtener la razón de frecuencia de cualquier intervalo en términos de doceavas raíces. Y las multiplicaciones por raíces duodécimas se pueden combinar en el mismo exponente de número fraccionario, por ejemplo, 2^(3/12) son tres semitonos:

Un acorde de séptima disminuida divide la octava en cuatro saltos de igual tamaño:

Pero en entonación justa, no es necesariamente así: los intervalos en un acorde disminuido no son del mismo tamaño. 20:24:29 o 160:192:231 o lo que sea, significa que los intervalos no serán completamente simétricos a lo largo de la octava. ¡Pero el temperamento igual cumple! :)

Esto tiene implicaciones para toda la idea de "construir hermosos acordes a partir de hermosos intervalos". Si planea tocar un solo acorde en una sola tecla y no hacer movimientos armónicos drásticos, tener una afinación específica para la tecla podría estar bien. Pero si pretende tener progresiones de armonía ambiguas con intervalos simétricos y muchos saltos entre teclas, use temperamento igual. YMMV, pero para mí, la música se vuelve aburrida si se mantiene básicamente en un acorde o modo todo el tiempo. (Bueno, está bien, dependiendo del instrumento, puedes afinar los tonos a medida que avanzas, y los instrumentistas y cantantes expertos hacen esos ajustes todo el tiempo de todos modos)

Históricamente, las proporciones que definen los intervalos provienen de los armónicos naturales de un sistema vibratorio lineal. Las frecuencias armónicas están relacionadas con el tono fundamental por la relación

fn = n*f1 (f1 = la frecuencia fundamental)

Obtenemos la siguiente secuencia

f1

2*f1 = octava

3*f1 = Define la quinta, en realidad esta es una octava y una quinta por encima de f1, siempre puede dividir por 2 cualquier cantidad de veces para llevar el tono a la octava como referencia. 3*f1 / 2 = (3/2)*f1, de ahí la relación 3/2.

5*f1 = define la 3ra mayor, 5*f1 / 2 / 2 = (5/4)*f1 esto es 2 octavas y una tercera por encima de la fundamental.

Esto da cuenta del 1, 3 y 5. En cuanto a los demás, cualquier par de notas relacionadas por una razón que tiene una potencia de 2 en el denominador proviene de esta secuencia. El 4to perfecto NO. Se puede ver en términos de su relación con el 1 como una quinta abajo. Ese es el que debe ser una proporción de 3/2 al 4 por debajo de él. Subiendo eso una octava e invirtiéndolo da 4/3.

Solo las escalas se basan en estas proporciones. la afinación de temperamento igual usa la raíz 12 de 2 como la proporción de medio paso. Este es un número irracional que no se puede expresar exactamente. Los intervalos 12TET no estarán en perfecta armonía como los intervalos Just. De hecho, para muchos instrumentos acústicos, uno quiere excitar las resonancias simpáticas de cuerda abierta para mejorar el tono y el volumen. La amortiguación ayuda porque crea una respuesta amplia para el instrumento y un intervalo TET probablemente excitará estas resonancias de la misma manera que un intervalo Justo.

La tercera menor, por la que preguntaste, no forma parte de esta secuencia. Uno simplemente debe bajarlo en una cantidad igual a medio paso. El intervalo entre Maj 3rd y P5 es de hecho un min3. Entonces uno podría comenzar con una proporción de 5/4:3/2 que se reduce a 6/5. Esto no es parte de la serie armónica, pero se deduce de la 3ª y la 5ª.

En cuanto a los acordes, una respuesta anterior describe el patrón x:y:z al multiplicar por los denominadores para obtener un conjunto de números enteros. Interpreto su pregunta como "¿de dónde vienen las proporciones?". Si me equivoco espero que mi explicación al menos ayude un poco. En mi comentario menciono ¿por qué preocuparse por estas proporciones? Si uno quiere una afinación de 12TET, entonces el -3 es simplemente 3 semitonos o 2 elevados a 3/12 = 1/4 de potencia. Esto no puede expresarse como una proporción en primer lugar.

Esta respuesta cubre parte del terreno.

Tenga en cuenta que cada una de las relaciones de frecuencia es una relación de números enteros que no son múltiplos de ningún número primo superior a 5. Por lo tanto, ninguna relación que involucre a 29 es relevante, por lo que 20-24-29 no es relevante como una afinación de una tríada disminuida.

¿Cómo se desarrollan las relaciones de frecuencia? El principio rector es que los intervalos entre tonos suenan afinados si la relación de las frecuencias de los tonos es la relación entre números enteros pequeños. Esta respuesta cubre parte de la teoría aquí.

En el sistema de Pitágoras, la octava está afinada a 1:2, la quinta justa a 2:3, y todos los demás intervalos se construyen sumando o restando intervalos. Así, la novena mayor es dos quintas perfectas, y así 4:9; la segunda o tono mayor es una novena mayor menos una octava, y por lo tanto 8:9, y un dítono son dos tonos o 64:81. El problema es que, en el Renacimiento italiano, los compositores usaban el dítono como un intervalo (es decir, hacían que los cantantes o los intérpretes tocaran simultáneamente dos tonos separados por ese intervalo) y sonaba tosco. Teóricos como Bartolomé Ramos de Pareja y Gioseffo Zarlino favorecieron en cambio el intervalo de relación de frecuencia 4:5. Esta es la tercera mayor justa. Es más pequeño que un dítono pitagórico por el intervalo 80:81, que se llama coma sintónica.. (Gracias al usuario Richard por su respuesta que me puso en contacto con el teórico Ramos).

Ahora volvamos a la tríada disminuida mencionada en el OP. Digamos que esta tríada es vii en una tonalidad mayor. Do mayor, por ejemplo. Digamos que hacemos CG, Fc y Gd solo quintas perfectas 2:3, y CE, FA y GB solo terceras mayores 4:5. Esto implica la siguiente afinación:

C D E F G A B c d e f 24 27 30 32 36 40 45 48 54 60 64

y nuestra tríada disminuida Bdf tiene una relación de frecuencia de 45:54:64. La tercera Bd es una tercera menor justa, con una relación de frecuencia de 5:6, pero la tercera df es una tercera menor pitagórica, con una relación de frecuencia de 27:32.

Por otro lado, digamos que la tríada disminuida en cuestión es ii en una tonalidad menor. Un menor, por ejemplo. Digamos que hacemos AE y CG solo quintas perfectas 2:3, AD y BE solo cuartas perfectas 3:4, y AC y DF solo terceras menores 5:6. Esto implica la siguiente afinación:

A B C D E F G a 120 135 144 160 180 192 216 240

Ahora, la tercera BD es una tercera menor pitagórica, y el DF es solo una tercera menor porque yo lo hice así. Entonces, nuestra tríada disminuida Bdf tiene una relación de frecuencia de 135:160:192.

¿Por qué las dos tríadas disminuidas tienen afinaciones diferentes? De hecho, ¿por qué dos tercios menores en la misma escala tienen tamaños diferentes? Es por la combinación de factores:

• La entonación justa sintoniza las quintas perfectas con la relación de frecuencia 2:3
• La entonación justa sintoniza los tercios mayores con la relación de frecuencia 4:5
• La escala a afinar tiene 7 tonos diatónicos por octava
• Entre los intervalos a afinar se encuentran quintas perfectas en 6 de estos tonos, y terceras mayores en 3 de ellos.

Resulta que hay tantas quintas y terceras para afinar, que afinarlas todas impone demasiadas restricciones en muy pocas variables, y algo tiene que ceder. De ahí la coma sintónica antes mencionada .