Conservación de energía en el reflejo de la luz de un espejo perfecto

Tiene razón al cuestionar la suposición de que el impulso dado al espejo es el doble del momento del fotón entrante, pero esto no tiene nada que ver con que el espejo sea un reflector perfecto. Esta es una aproximación. Tiene razón en que si el momento del fotón reflejado es igual al momento del fotón entrante, entonces la masa del espejo debe ser infinita (o bien, el momento del fotón reflejado debe ser menor). Esta es otra forma de decir que el espejo no se puede mover. La mejor manera de explicarlo es simplemente hacer un cálculo cinemático simple.

Ignoremos el resorte y hagamos una simple colisión elástica de espejo y fotón. Este es un cálculo no relativista (nada como la dispersión de Compton), así que usemos la energía no relativista y la conservación del momento.

Consideremos que la longitud de onda del fotón entrante es$\lambda$, la longitud de onda del fotón reflejado será$-\lambda^\prime$(negativo ya que se refleja en la dirección), y la masa del espejo como$M$. Después de la reflexión del fotón, suponga que al espejo se le imparte una velocidad$v$. Por conservación de la cantidad de movimiento,

$$\frac{h}{\lambda} + \frac{h}{\lambda^\prime} = M v \:,$$

y por la conservación de la energía,

$$\frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda^\prime} = \frac{1}{2}Mv^2\:.$$

Puedes convencerte de que después de eliminar$h/\lambda^\prime$y algunas reorganizaciones tendrán una ecuación que es cuadrática en$v$, cuyas soluciones formales serán

$$v = -c \pm c\sqrt{1+\delta} \:,\:\:\:\:\:\:\textrm{where}\:\:\:\delta = \frac{4 h}{M c \lambda} \: .$$

Me estoy saltando mucho álgebra trivial (y la fórmula cuadrática); debería poder obtener el resultado anterior sin demasiados problemas. Podemos desechar inmediatamente la solución taquiónica no física y, dado que$\delta \ll 1$, podemos ampliar en$\delta$Llegar

$$\frac{v}{c} = \frac{1}{2}\delta + O(\delta^2) \:.$$

Así, obtenemos

$$Mv \approx \frac{2h}{\lambda} = 2 p \:,$$

donde hemos ignorado los términos que son de orden superior en$h/\lambda$(que significa orden superior$\delta$términos). Por lo tanto, el impulso del espejo es aproximadamente el doble del impulso del fotón entrante. En otras palabras, puede aproximar la cinemática del sistema como si el fotón reflejado tuviera el mismo impulso.$p$como el fotón entrante, y que el espejo por lo tanto recibe un impulso$2p$porque el fotón se refleja (el impulso del fotón debe ser$-2p$para invertir la dirección, por lo que el impulso del espejo debe ser$+2p$para conservar el impulso).

En realidad, el fotón verá algún cambio de longitud de onda, pero será pequeño. El término de orden principal en el impulso del espejo provendrá del cambio de momento del fotón debido a la reflexión. Intuitivamente, esto se debe a que la energía de la masa en reposo del espejo es mucho mayor que la energía del fotón. En aras de la intuición, puede pretender que los fotones son equivalentes, aquí, a pequeñas partículas de masa.$m$, dónde$m$es dado por$m c^2 = hc/\lambda \ll M c^2$. Piense en hacer rebotar una canica en el suelo, donde la masa de la Tierra es mucho mayor que la masa de la canica: el impulso de cada fotón individual no cambiará mucho en magnitud ya que la masa del espejo es mucho mayor, solo cambiará su dirección. Esta intuición está respaldada por el análisis anterior: esperaríamos que nuestras conclusiones se derrumbaran cuando$\delta \sim 1$, o en otras palabras, cuando$h/\lambda \sim Mc$(ignorando factores numéricos triviales).

Aparte, también podemos aproximar cuál será el cambio de longitud de onda. El valor de$v$hasta las correcciones de primer orden serán

$$\frac{v}{c} = \frac{1}{2}\delta - \frac{1}{8}\delta^2 + O(\delta^3) \: .$$

De este modo,

$$Mv \approx 2 \frac{h}{\lambda} - \frac{2}{Mc} \left(\frac{h}{\lambda}\right)^2 \: .$$

Colocando esta expresión de nuevo en la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento en la parte superior, tendremos

$$\frac{h}{\lambda^\prime} - \frac{h}{\lambda} \approx - \frac{2}{Mc} \left(\frac{h}{\lambda}\right)^2 \: .$$

Entonces,

$$\frac{\Delta p}{p} \approx - \frac{2p}{Mc} \:,$$

donde las correcciones de orden superior en$p$será suprimida por factores de$1/Mc$. En términos de$\lambda$, este desplazamiento será, hasta correcciones de primer orden,

$$\frac{\Delta\lambda}{\lambda} \approx \frac{2h}{Mc\lambda} \:.$$

Entonces, si tomamos la luz visible (digamos,$\lambda = 5 \times 10^{-7} \,\textrm{m}$), y$M = 0.1 \,\textrm{kg}$, este cambio proporcional será de aproximadamente

$$\frac{\Delta\lambda}{\lambda} \approx 8 \times 10^{-35} \:,$$

que es absolutamente la definición de libro de texto de insignificante. Donde el espejo capta su movimiento detectable es en la gran cantidad de fotones que lo golpean.

Sin embargo, si asumo que cada fotón cede un poco de su energía, cambiando así su longitud de onda, entonces el impulso entrante no será igual al impulso saliente. Pero esto llevaría a una contradicción ya que asumimos que el espejo refleja perfectamente.

No hay contradicción. Debe interpretar que "espejo que refleja perfectamente" significa que cada fotón que incide sobre el espejo se refleja. De hecho, esto requiere que los fotones reflejados tengan una longitud de onda más larga que los fotones incidentes. No se le da la longitud de onda reflejada, pero la imposición de la conservación de energía-momento (dos relaciones) le permite resolver tanto la longitud de onda reflejada como el valor de$N$(dos incógnitas).

Si pregunta "¿qué pasaría si imagináramos un espejo que refleja perfectamente" en el sentido de un espejo que siempre reflejaría cada fotón incidente sin cambiar su longitud de onda, entonces está preguntando "¿qué pasaría si la energía o el impulso no se conservaran?" Bueno, entonces tendría que proponer algunas nuevas leyes de la física que harían esto posible y, con suerte, responderían a su pregunta.

En el enunciado del problema, "espejo perfecto" debe significar que no se absorbe luz y que el espejo es perfectamente plano. Sin embargo, hay un efecto de retroceso que se puede medir si el espejo es lo suficientemente claro. Esto es requerido por la conservación del impulso, como usted dice. Por lo tanto, cada fotón se reflejará con una energía ligeramente menor, por lo tanto, una frecuencia ligeramente menor y una longitud de onda mayor. En este sentido el espejo no es perfecto, por diseño. Su sospecha está bien fundada.

Hubiera sido más claro si se hubiera declarado explícitamente lo que se entendía por "perfecto".

Los espejos perfectos no existen, pero si insistes, hablemos de este caso.

Un espejo perfecto es un espejo que refleja la luz (y la radiación electromagnética en general) perfectamente y no la transmite ni la absorbe.[1]

https://en.wikipedia.org/wiki/Perfect_mirror

Esto significa que, como puede ver en los comentarios, todos y cada uno de los fotones que inciden en el espejo también dejarán el espejo después de la reflexión. Ninguno de los fotones incidentes puede ser absorbido (sin reemisión) o refractado.

La reflexión es dispersión elástica, esa es la única forma de construir una imagen especular, esto mantiene los niveles de energía relativos y la fase de los fotones.

Ahora los niveles relativos de energía de los fotones no cambian, pero eso no significa que la energía y el momento permanezcan iguales. La energía y el momento de los fotones cambian. Sí, los fotones ejercen presión sobre el espejo.

Sí. En realidad, los fotones ejercen presión sobre cualquier superficie expuesta a ellos. Por ejemplo, los fotones emitidos por el Sol ejercen una presión de 9,08 μN/m2 sobre la Tierra.

Sobre fotones y espejos

Es una teoría clásica, pero la presión de radiación es un fenómeno real. Esto no significa que el espejo no pueda ser perfecto en tu caso. Perfecto significa que todos los fotones se dispersan elásticamente y ninguno se absorbe (sin reemisión) ni se refracta.

Trátelo como un problema de impulso (colisión elástica). No necesita fuerza o poder, solo necesita la conservación del impulso cuando los fotones golpean.

Puede asumir razonablemente un momento igual y opuesto para los fotones antes y después de la colisión (sin cambios en la longitud de onda, ya que el espejo está estacionario en la colisión; podría incluir un cambio Doppler para los fotones reflejados, ya que el espejo se está moviendo para entonces, pero complicaría el problema y será pequeño).

Entonces eso te dará el impulso del espejo después de la colisión. Necesita obtener la constante de Hooke para la primavera de$\Omega$y luego solo tienes que resolver la ecuación de movimiento durante la compresión del resorte.

La masa del espejo se da para hacerte pensar que se trata de un problema de marco de referencia. No lo es. Eso, o se requiere para derivar la constante de resorte$k$de la frecuencia del oscilador$\Omega$. Supongamos que eso está hecho.

Ahora la situación está en equilibrio con el espejo desplazado una distancia$x$, que requiere una fuerza:

$$F = kx$$

¿De dónde viene esa fuerza? Luz reflejada:

$$F = \frac{\mathrm dp}{\mathrm dt}$$

dónde$p$es impulso. para la luz:

$$pc = E$$

dónde$E$es la energía en la luz. Desde el poder,$P$, es energía por tiempo:

$$P = \frac{\mathrm dE}{\mathrm dt} = \frac{\mathrm d(pc)}{\mathrm dt} = c\,\frac{\mathrm dp}{\mathrm dt}=cF = kx$$

Ese poder puede entonces convertirse en un flujo de billones de fotones.

En el caso de que todos los fotones golpeen a la vez, entonces hay un impulso:

$$P_{\gamma} = 2p_{\gamma} = P_M$$

En cuyo caso, el resorte se comprimirá de tal manera que (conservación de energía):

$$\frac 1 2 k x^2 = \frac{P_M^2}{2M}$$

No estoy totalmente seguro, pero esto suena como un problema relacionado con el marco de referencia. En el marco del centro de masa no debe haber transferencia de energía para una colisión elástica. Pero como no se da la masa del espejo, es posible que el marco del centro de masa ni siquiera sea aproximadamente el marco del laboratorio donde el espejo está en reposo inicialmente.

Expresado de manera diferente: uno no debe interpretar el término "perfectamente reflejado" como preservando la energía de la luz, ya que esto depende del marco. Simplemente significa que no hay absorción.

Calculemos el cambio de energía del espejo de masa$M$de un fotón con energía$\hbar \omega$

El fotón tiene impulso.$p = \hbar \omega/c$, por lo que el cambio total en la cantidad de movimiento es$\Delta p =-2\hbar \omega/c$

El espejo, por otro lado, gana impulso.$-\Delta p$por la conservación del impulso. Este cambio de impulso le dará algo de energía al espejo, pero ¿cuánta? Esta es simplemente la energía cinética del espejo.

$$KE = \frac{\Delta p^2}{2M} = \hbar \omega \frac{2\hbar \omega}{Mc^2}$$

Por lo tanto, para un espejo de 10 gramos y un fotón de luz visible, tenemos un cambio relativo en la energía de$\frac{2\hbar \omega}{Mc^2}$o 1 parte en$10^{33}$, que es absolutamente despreciable. Entonces podemos asumir con seguridad que el espejo refleja perfectamente la luz y prácticamente no cambia su energía.

Asumir que no hay cambio en la longitud de onda no daña las leyes de Newton. El fenómeno de la dispersión de Raleigh muestra que existe reflexión (inflexión) de fotones sin cambio de longitud de onda o frecuencia:

"Para frecuencias de luz muy por debajo de la frecuencia de resonancia de la partícula de dispersión (régimen de dispersión normal), la cantidad de dispersión es inversamente proporcional a la cuarta potencia de la longitud de onda".

No hay noticias sobre ningún cambio de longitud de onda o frecuencia. No ocurre. La luz azul se refleja como luz azul sin ningún corrimiento hacia el rojo, y es solo el ángulo de reflexión el que difiere y marca la reflexión como la llamada reflexión de Raleigh.

Esto se puede explicar fácilmente, en mi opinión, por un intercambio únicamente de dirección entre los fotones y las partículas de las que está hecho el espejo (asumiendo el -hipotético- significado del término "perfecto" que sugiere la pregunta)

ya que según la ley de Newton el impulso es un vector que incluye la dirección de los cuerpos en movimiento.

No es necesario suponer más que los fotones que golpean las partículas del espejo que están en un estado de movimiento.

Por lo tanto, en mi opinión, asumir un reflejo "perfecto" en un espejo sin cambio de longitud de onda no contradice las leyes de Newton, ya que el impulso es un vector que incluye la dirección.

El hecho de que se produzca un cambio de ángulo con la dispersión de Raleigh en Wikipedia se explica de la siguiente manera:

"La dispersión de Rayleigh resulta de la polarizabilidad eléctrica de las partículas. El campo eléctrico oscilante de una onda de luz actúa sobre las cargas dentro de una partícula, haciendo que se muevan a la misma frecuencia. La partícula, por lo tanto, se convierte en un pequeño dipolo radiante cuya radiación ver como luz dispersa. Las partículas pueden ser átomos o moléculas individuales; puede ocurrir cuando la luz viaja a través de sólidos y líquidos transparentes, pero se ve más prominentemente en los gases".

Por lo tanto, el significado de la palabra "perfecto" en el texto dado debe inferirse del contexto. Del contexto del problema se puede inferir que simplemente no hay absorción de fotones, como se indica en otras respuestas.