¿Se cumple la ley de reflexión para pelotas que rebotan inelásticamente en planos inclinados?

Hay un problema de 2 partes en mi libro de física en el que la parte I da información sobre una pelota que se deja caer verticalmente sobre una superficie plana, y se nos pide que deduzcamos el coeficiente de restauración. mi . En la parte II, dejamos caer la misma pelota sobre un plano inclinado y se nos pide encontrar la ubicación del segundo punto de contacto de la pelota con el plano. El plano inclinado presumiblemente está hecho del mismo material que la superficie plana, aunque esto no se menciona en el problema.

Es un ejercicio muy fácil, pero había algo en la solución del libro que me confundió: el libro afirma (sin justificación) que las colisiones de la pelota con el plano obedecen a la ley de la reflexión.

Para ver por qué esto no tiene sentido (para mí), tomemos un ejemplo simple.

Bola moviéndose en 2 dimensiones, sin gravedad

Considere una pelota que se mueve sin fricción en el plano horizontal e impacta contra una pared con un ángulo de incidencia α y velocidad v 0 . Tomemos nuestro marco de referencia para tener la pared a lo largo del y -eje y la pelota se acerca a la pared desde el positivo X dirección.

Durante un pequeño tiempo Δ t , la pelota ejerce un impulso sobre la pelota y el vector impulso será paralelo al X -eje, apuntando en el positivo X dirección. Por lo tanto durante el tiempo d t no hay fuerzas actuando sobre la bola en el y -dirección y, por lo tanto, la cantidad de movimiento se conserva en esta dirección.

Supongamos que la pelota rebota en la pared con una nueva velocidad. v 1 , y deja mi = v 1 / v 0 Sea el coeficiente de restitución de la colisión. Tenga en cuenta que mi = 1 iff la colisión es perfectamente elástica.

Ahora desde el impulso en el y -la dirección se conserva, el ángulo de reflexión β debe satisfacer metro v 0 pecado ⁡ ( α ) = metro v 1 pecado ⁡ ( β ) , o pecado ⁡ ( β ) = pecado ⁡ ( α ) / mi . Si imponemos que el choque es perfectamente elástico, tenemos α = β , que es la famosa ley de la reflexión. Pero en general, la colisión no obedece a la ley de reflexión.

Bola que cae sobre un plano inclinado

Ahora regresemos a la parte 2 del problema, y ​​dejemos caer nuestra pelota desde cierta altura sobre un plano inclinado que vive en el X z plano con ángulo de inclinación α (la gravedad actúa en sentido negativo z dirección). Por lo tanto, el ángulo de incidencia también es α , y ahora nos gustaría calcular el ángulo de reflexión β , sabiendo que el coeficiente de restitución de la colisión es mi .

El problema ahora es que durante el pequeño tiempo Δ t de la colisión, la gravedad transmite un impulso de metro gramo pecado ⁡ ( α ) Δ t en dirección paralela a la superficie del plano inclinado. Por eso metro gramo pecado ⁡ ( α ) Δ t = v 1 porque ⁡ ( β ) − v 0 porque ⁡ ( α ) = v 0 ( mi porque ⁡ ( β ) − porque ⁡ ( α ) ) . Desafortunadamente, no sabemos Δ t , por lo que puedo ver, no hay suficiente información para determinar β .

Entonces, ¿el libro está mal? ¿Y cómo calcularíamos el ángulo de reflexión de un plano inclinado?

PD perdón por la pregunta detallada

-1. Poco claro. Esto es confuso y difícil de seguir sin un diagrama. también como Δ t desaparecer en la primera situación pero no en la segunda?
Creo que está muy claro, expliqué todo en detalle, solo tienes que leer lo que está escrito. No es que Delta t desaparezca en la primera situación, es que es irrelevante para el cálculo del ángulo de incidencia porque lo único que necesitamos es que se conserve la cantidad de movimiento.

Respuestas (2)

La ley de reflexión solo se cumple si la colisión es elástica y el objeto con el que choca la pelota no se mueve. Si la colisión no es elástica, la componente perpendicular de la velocidad es menor después que antes, mientras que la componente paralela es la misma. Así que cuando mi < 1 el ángulo de reflexión es mayor que el ángulo de incidencia.

El objeto con el que se choca debe ser mucho más masivo que la pelota, para que no se mueva. La cantidad de movimiento se conserva en la colisión, siempre que se tenga en cuenta la cantidad de movimiento de ambos objetos. Si, por ejemplo, la pelota se deja caer y rebota desde una cuña que puede deslizarse horizontalmente, el retroceso de la cuña aumentará la componente horizontal de la velocidad de la pelota.

La fricción y el giro de la pelota también afectarán el ángulo de reflexión. Durante un tiempo finito de colisión, la fricción reducirá la componente paralela de la velocidad. El giro de la pelota afecta si hay movimiento relativo entre la pelota y el avión durante la colisión.

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Si el plano está fijo, entonces las componentes perpendicular y paralela después de la colisión son mi V 0 porque ⁡ i , V 0 pecado ⁡ i dónde i = θ , por lo que el ángulo de reflexión está dado por
broncearse ⁡ r = V 0 pecado ⁡ i mi V 0 porque ⁡ i = 1 mi broncearse ⁡ i .

Si el plano es una cuña que puede deslizarse horizontalmente, entonces podemos conservar el impulso horizontalmente: metro V 1 pecado ⁡ ( i + r ) = METRO tu .
La velocidad relativa de aproximación a lo largo de la perpendicular es nuevamente V 0 porque ⁡ i . La velocidad relativa de separación es V 1 porque ⁡ r + tu porque ⁡ i . Aplicar la Ley de Restitución:
V 1 porque ⁡ r + tu porque ⁡ i = mi V 0 porque ⁡ i .
La velocidad relativa de aproximación a lo largo de la dirección paralela es inicialmente V 0 pecado ⁡ i . Si no hay fricción entre la bola y la cuña, esta componente se conserva en la colisión, por lo que
V 0 pecado ⁡ i = V 1 pecado ⁡ r + tu pecado ⁡ i .

Las últimas 3 ecuaciones se pueden resolver para encontrar V 1 , r , tu .

¿Qué pasa con la gravedad? ¿La gravedad no afecta el componente paralelo de la velocidad como describí en los detalles de la pregunta?
Las fuerzas de reacción durante la colisión suelen ser mucho mayores que el peso de la pelota, por lo que normalmente se puede ignorar este último.

Si la superficie no tiene fricción

La pelota se deslizará cuesta abajo durante Δ t .
No sólo se sigue aplicando la aceleración debida a G paralela a la pendiente, sino que la componente de la velocidad de impacto de la bola paralela a la pendiente permanece inalterada por la reflexión.

con fricción

"Si no se desliza, gira".
El efecto de deslizamiento solo puede ocurrir en la práctica si las condiciones son suficientes para anular la fricción. Esto depende de los materiales de la superficie, el ángulo de incidencia en la pendiente y la velocidad de la colisión.
Si no se supera la fricción, se inducirá la rotación.

El impulso de la colisión en realidad deforma tanto la superficie como la pelota, pero si se trata de objetos duros o de baja fricción, puede ser un efecto insignificante y, por lo tanto, (más bien como la resistencia del aire) está bien ignorarlo para muchos propósitos. preguntas de tipo colisión.

En particular, el efecto de la fricción se observa con bolas blandas o muy elásticas, ya que mantienen el contacto durante un mayor período de tiempo. Por ejemplo, si una "pelota que rebota" se deja caer verticalmente sobre una pendiente, tendrá algo de giro después de la colisión. durante tales colisiones, la energía de espín y la energía cinética pueden intercambiarse.
Además, al igual que la energía cinética en una dirección se puede invertir, el giro se puede invertir si las condiciones son las adecuadas, como que la fricción sea lo suficientemente alta.

Esto no responde a mi pregunta y solo está relacionado tangencialmente con los detalles que proporcioné en el cuerpo de la pregunta. Mi pregunta es la del titulo.
¿Está seguro? Δ t es el tiempo de contacto. No, la ley de la reflexión no se cumple, es una aproximación; a menudo suficientemente precisa.
Pero estás hablando de fricción. Incluso asumiendo cero fricción (como dije en los detalles de la pregunta, sin fuerzas en la dirección horizontal), la ley de reflexión no necesariamente se cumple (según yo). Se cumple si y solo si la colisión es perfectamente elástica.
Oh, eso es otra cosa, agregué más a mi respuesta (no encajará aquí)
¿Se cumple la ley de reflexión para pelotas que rebotan inelásticamente en planos inclinados?
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