¿Cómo se calcularía el período sinódico entre 3 planetas?

No sé si este es el término correcto, pero ¿cómo se calcula el tiempo que tardan 3 planetas en estar en la misma línea?

Siempre puedes trazar una línea a través de dos puntos distintos (al menos en el espacio euclidiano), pero con tres puntos, en el mundo real, debes permitir algún error, digamos dentro de mil o un millón de kilómetros en el caso de tres planetas. Esto podría recibir una respuesta en Matemáticas Stack Exchange si no recibe una respuesta aquí después de un tiempo. Tres ondas sinusoidales de diferente frecuencia alcanzan casi el mismo valor. Si las frecuencias estuvieran en proporciones de números racionales, sería sencillo obtener una respuesta exacta si existiera. Pero si es irracional, ¡entonces se convierte en una pregunta más interesante!
Puede encontrar el período sinódico entre los planetas 1 y 2, y luego entre los planetas 2 y 3, y luego encontrar un múltiplo entero común de esos números. Sin embargo, como señala @uhoh, es posible que no exista tal múltiplo. En ese caso, lo mejor que puede esperar es una alineación aproximada.

Respuestas (1)

Normalmente, tres planetas no se alinearían a lo largo de una línea simple como esa. Los planetas tienen órbitas con diferentes inclinaciones, por lo que en el mejor de los casos estarían en el mismo plano .

Resolver eso requiere un cálculo detallado de sus movimientos. La aproximación más simple es suponer que todo tiene la misma inclinación y tratar las órbitas como círculos (lo cual no es precisamente).

Para este modelo simple, la posición angular de un planeta θ en cualquier momento t es dado por :

θ ( t ) = θ 0 + t 2 π T

Donde T es el periodo orbital y θ 0 es el ángulo inicial.

Lo que quieres es el valor de t satisfactorio :

θ 1 ( t ) = θ 2 ( t ) + 2 metro π = θ 3 ( t ) + 2 norte π

Donde el norte y metro los valores son enteros.

Ahora hacer esto para dos planetas es fácil, obtenemos:

t 12 = ( θ 10 − θ 20 2 π − metro ) T 1 T 2 T 2 − T 1

t 13 = ( θ 10 − θ 30 2 π − norte ) T 1 T 3 T 3 − T 1

Recuerde que tenemos que resolver esos metro y norte valores para obtener un resultado!

Pero el problema es que necesitamos obtener valores enteros y todos los demás valores son números reales. Esto significa que es posible que no haya una solución (exacta) que produzca valores enteros y, por lo tanto, no haya un momento en el que todos se alineen.

Ahora, en el mundo real, hay otros problemas:

  • Las inclinaciones orbitales significan que necesitamos trabajar en tres dimensiones.
  • Las órbitas serán elipses, no círculos, y si queremos aún más precisión, ni siquiera son formas convenientes como esa (busque el problema de los tres cuerpos para tener una idea de por qué).
  • La velocidad de la luz es finita. Entonces, lo que significa "alineado" no es tan simple como parece. Puede haber solo un observador que diría que están alineados y todos los demás observadores los considerarían no alineados.
  • Los planetas tienen tamaños distintos de cero, por lo que podemos permitir que se alineen dentro de un rango de valores, no un simple conjunto de números, sino un conjunto completo de rangos de valores.
  • De nuevo con el tiempo en relatividad general, cuyo tiempo estamos utilizando como referencia. Eso es realmente complicado en relatividad general (más de lo que parece), pero afortunadamente en una buena aproximación podemos ignorar la relatividad la mayor parte del tiempo o usar pequeños factores correctivos.
  • Todas nuestras medidas de los parámetros de la órbita tendrán una precisión finita y cierto rango de incertidumbre. Entonces, particularmente durante períodos de tiempo muy largos, nuestros cálculos pueden volverse inexactos.
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