Esta es una respuesta de baja precisión, pero simple.

Le permite calcular solo la configuración de alineación radial de los planetas.

Si desea una aproximación, digamos, aproxima la posición de los planetas como las manecillas de un reloj, podría resolver las matemáticas con algo como esto.

Asumir$\theta_i$es el ángulo inicial para el planeta$i$en el momento$t_0$- medido desde una posición arbitraria pero fija, y$l_i$es la duración del año - en días - para el planeta$i$.

Luego se continúa resolviendo este sistema de ecuaciones:

$$x \equiv \theta_i \left( \ mod\ l_i\right)$$

A partir de aquí, simplemente aplicaría el teorema chino del resto .

Encontrar el mínimo x, te dará el ángulo que forma el planeta que en$t_0$tenía ángulo$\theta_i = 0$habría viajado hasta alcanzar una configuración de alineación . Suponiendo que elija la Tierra como el planeta mencionado, divida ese ángulo por una revolución completa ($360^{o}$) y obtendrá el número de años para alcanzar esa configuración, desde el$t_0$configuración.

Lo diferente$\theta_i$en grados para todos los planetas el 01 de enero de 2014 - puede usar esto como su$t_0$:

$$\begin{align} Mercury &\quad 285.55 \\Venus &\quad 94.13 \\Earth &\quad 100.46 \\Mars &\quad 155.60 \\Jupiter &\quad 104.92 \\Saturn &\quad 226.71 \\Uranus &\quad 11.93 \\Neptune &\quad 334.90 \end{align}$$

Fuente

Lo diferente$l_i$en días para todos los planetas:

$$\begin{align} Mercury &\quad 88 \\Venus &\quad 224.7 \\Earth &\quad 365.26 \\Mars &\quad 687 \\Jupiter &\quad 4332.6 \\Saturn &\quad 10759.2 \\Uranus &\quad 30685.4 \\Neptune &\quad 60189 \end{align}$$

Finalmente , bajo una aproximación de valores enteros y utilizando este solucionador en línea para el sistema de ecuaciones, la respuesta es$x = 4.0384877779832565 \times 10^{26}$que dividido por$360^{o}$te da aproximadamente

$$1.1218 \times 10^{24} \quad\text{years}$$

Editar 1

Acabo de encontrar este sitio con el que te gustaría jugar. Es una aplicación flash interactiva con la posición precisa de los planetas.

También sé que toda la información se puede obtener de esta página de la NASA y que es lo más precisa posible, pero ahora es incomprensible para mí. Intentaré revisarlo más tarde cuando tenga tiempo.

Además , este libro de Jean Meeus llamado Algoritmos astronómicos cubre todas las ecuaciones y fórmulas fundamentales; sin embargo, no tiene nada que ver con los algoritmos de programación.

Editar 2

Al ver que usted es un programador, podría valer la pena que visite el sitio de la NASA que mencioné anteriormente, incluso se puede acceder a los datos de todos los planetas a través de$\tt{telnet}$. O este sitio de Sourceforge donde tienen implementaciones para muchas de las ecuaciones descritas en el libro también mencionado anteriormente.

La respuesta correcta es ' nunca ', por varias razones. Primero , como se señaló en el comentario de Florin, las órbitas del planeta no son coplanares y, por lo tanto, no es posible alinearlas, incluso si cada planeta pudiera colocarse arbitrariamente en su plano orbital. En segundo lugar , incluso la alineación radial pura nunca ocurre porque los períodos del planeta son inconmensurables: sus proporciones no son números racionales. Finalmente , las órbitas de los planetas evolucionan a lo largo de escalas de tiempo de millones de años, principalmente debido a su atracción gravitatoria mutua. Esta evolución es (débilmente) caótica y, por lo tanto, impredecible durante mucho tiempo.

La respuesta incorrecta de harogaston esencialmente se aproxima a los períodos orbitales por los números conmensurables más cercanos, lo que arroja un tiempo muy largo (aunque se equivocó por un factor de meramente$10^{16}$).

Una pregunta mucho más interesante (y quizás la que realmente le interesó) es con qué frecuencia los 8 planetas casi se alinean radialmente . Aquí, ' casi ' podría significar simplemente ' hasta adentro '$10^\circ$como se ve desde el Sol '. En tal ocasión, la atracción gravitacional mutua de los planetas se alineará y, por lo tanto, dará como resultado cambios orbitales más fuertes que el promedio.

Cualquier estimación del período común de más de dos planetas (es decir, ¿después de cuánto tiempo se alinean de nuevo aproximadamente en longitud heliocéntrica?) depende en gran medida de cuánta desviación de la alineación perfecta es aceptable.

Si el período del planeta$i$es$P_i$, y si la desviación aceptable en el tiempo es$b$(en las mismas unidades que$P_i$), entonces el período combinado$P$de todo$n$planetas es aproximadamente

$$P \approx \frac{\prod_i P_i}{b^{n-1}}$$ por lo tanto, reducir la desviación aceptable por un factor de 10 significa aumentar el período común por un factor de $10^{n-1}$, que para 8 planetas es un factor de 10.000.000. Por lo tanto, no tiene sentido citar un período común si no especifica también cuánta desviación era aceptable. Cuando la desviación aceptable desciende a 0 (para lograr una "alineación perfecta"), el período común aumenta hasta el infinito. Esto corresponde a las declaraciones de varios comentaristas de que no hay un período común porque los períodos no son proporcionales.

Para los períodos de los planetas enumerados por harogaston,$\prod_i P_i \approx 1.35\times10^6$cuando el$P_i$se miden en años julianos de 365,25 días cada uno, por lo que el período común en años es aproximadamente

$$P \approx \frac{1.35\times10^6}{b^7}$$ si $b$se mide en años también. Si los períodos se aproximan al día más cercano, entonces $b \approx 0.00274$años y $P \approx 1.2\times10^{24}$años. Si los períodos se aproximan al día 0.01 más cercano, entonces $b \approx 2.74\times10^{-5}$y $P \approx 1.2\times10^{38}$años.

La derivación de la fórmula anterior es la siguiente:

Aproximar los períodos de los planetas por múltiplos de una unidad base$b$:$P_i \approx p_i b$dónde$p_i$es un número entero. Entonces el período común es como máximo igual al producto de todos$p_i$. Ese producto todavía se mide en unidades de$b$; debemos multiplicar por$b$para volver a las unidades originales. Entonces, el período común es aproximadamente

$$P \approx b \prod_i p_i \approx b \prod_i \frac{P_i}{b} = b \frac{\prod_i P_i}{b^n} = \frac{\prod_i P_i}{b^{n-1}}$$

La derivación anterior no tiene en cuenta que el$p_i$podría tener factores comunes para que la alineación ocurra antes de$\prod_i p_i$sugiere. Sin embargo, sean o no dos$p_i$tienen factores comunes depende en gran medida del período base elegido$b$, por lo que es efectivamente una variable aleatoria y no afecta la dependencia global de$P$sobre$b$.

Si expresa la desviación aceptable en términos de ángulo en lugar de tiempo , entonces espero que obtenga respuestas que dependen del tamaño de la desviación aceptable tan fuertemente como en la fórmula anterior.

Ver http://aa.quae.nl/en/reken/periode.html para un gráfico de$P$como una función de$b$para todos los planetas, incluido Plutón.

EDITAR:

Aquí hay una estimación con una desviación aceptable en términos de ángulo . Queremos que todos los planetas estén dentro de un rango de longitud de ancho$δ$centrado en la longitud del primer planeta; la longitud del primer planeta es libre. Suponemos que todos los planetas se mueven en la misma dirección en órbitas circulares coplanares alrededor del Sol.

Debido a que los períodos de los planetas no son proporcionales, todas las combinaciones de longitudes de los planetas ocurren con la misma probabilidad. La probabilidad$q_i$que en algún momento específico de tiempo la longitud del planeta$i > 1$está dentro del segmento de ancho$δ$centrado en la longitud del planeta 1 es igual a

$$q_i = \frac{δ}{360°}$$

La probabilidad$q$que los planetas 2 a través$n$están todos dentro de ese mismo segmento de longitud centrado en el planeta 1 es entonces

$$q = \prod_{i=2}^n q_i = \left( \frac{δ}{360°} \right)^{n-1}$$

Para traducir esa probabilidad a un período promedio, necesitamos estimar durante cuánto tiempo están alineados todos los planetas (dentro de$δ$) cada vez que estén todos alineados.

Los primeros dos planetas en perder su alineación mutua son los más rápidos y lentos de los planetas. Si su período sinódico es$P_*$, entonces estarán alineados durante un intervalo

$$A = P_* \frac{δ}{360°}$$ y luego fuera de alineación por algún tiempo antes de volver a alinearse. Entonces, cada alineación de todos los planetas dura aproximadamente un intervalo $A$, y todas esas alineaciones juntas cubren una fracción $q$de todos los tiempos. Si el período promedio después del cual ocurre otra alineación de todos los planetas es $P$, entonces debemos tener $qP = A$, asi que $$P = \frac{A}{q} = P_* \left( \frac{360°}{δ} \right)^{n-2}$$

Si solo hay dos planetas, entonces$P = P_*$a pesar de$δ$, que es como se esperaba.

Si hay muchos planetas, entonces el planeta más rápido es mucho más rápido que el más lento, entonces$P_*$es casi igual al período orbital del planeta más rápido.

Aquí, también, la estimación del tiempo promedio entre alineaciones sucesivas es muy sensible al límite de desviación elegido (si hay más de dos planetas involucrados), por lo que no tiene sentido citar un período combinado si no menciona también qué se permitía la desviación.

También es importante recordar que (si hay más de dos planetas) estas (casi) alineaciones de todos ellos no ocurren a intervalos regulares.

Ahora conectemos algunos números. Si desea que los 8 planetas estén alineados dentro de 1 grado de longitud, entonces el tiempo promedio entre dos alineaciones de este tipo es aproximadamente igual a$P = 360^6 = 2.2×10^{15}$órbitas del planeta más rápido. Para el Sistema Solar, Mercurio es el planeta más rápido, con un período de aproximadamente 0,241 años, por lo que el tiempo promedio entre dos alineaciones de los 8 planetas dentro de 1 grado de longitud es de aproximadamente$5×10^{14}$años.

Si ya está satisfecho con una alineación dentro de los 10 grados de longitud, entonces el período promedio entre dos alineaciones de este tipo es aproximadamente igual a$P = 36^6 = 2.2×10^9$órbitas de Mercurio, que tiene unos 500 millones de años.

¿Cuál es la mejor alineación que podemos esperar durante los próximos 1000 años? 1000 años son aproximadamente 4150 órbitas de Mercurio, por lo que$(360°/δ)^6 \approx 4150$, asi que$δ \approx 90°$. En un intervalo de 1000 años elegido al azar, hay en promedio una alineación de los 8 planetas dentro de un segmento de 90°.

Hay una manera mucho más fácil de hacer esto.

1) Busque la duración del año solar en días terrestres

2) multiplicar la duración de los años así: año de Mercurio * año de Venus * año de la Tierra * año marciano * año de Júpiter * año de Saturno * año de Urano * año de Neptuno

3) Divida por 365 para obtener los años terrestres.

Y tiene un tiempo en el que se alinearán nuevamente longitudinalmente (lo que significa que los ángulos serán diferentes pero desde una vista superior formarían una línea). No se alineará a una frecuencia más alta porque algunos de estos planetas tienen un número decimal de días terrestres en su año.

Técnicamente, la verdadera forma de encontrar el período entre la alineación de los 8 planetas es encontrar el MCM de los 8 años de duración.

LCM (88, 225, 365, 687, 4333, 10759, 30685, 60189) = 814252949520007202031000. Entiendo que esta es una estimación aproximada ya que se redondean al número entero más cercano, pero da una buena idea de la cantidad de días que tomaría

814252949520007202031000/365 = 2230829998684951238441. Esa es la cantidad de años.