¿Cómo se calcula el ∆v necesario para aumentar la apoapsis hasta cierta altura?

No soy ingeniero espacial, pero encontré este hilo y creo que puede responder a tu pregunta. Delta V en función de la altitud

El despegue delta v a a$100km$la altitud está en el rango de aproximadamente$1.4km/s$para un sistema ideal.

Y la respuesta con la ecuación explicada:

Para alcanzar una altura de 150 km al menos una vez, no es necesario alcanzar una órbita verdadera (una en la que el perigeo no toque la Tierra). El tamaño de su órbita depende de la energía específica de la órbita:

$\epsilon=\frac{GM}{-2a}$

donde a es el semieje mayor, G la constante gravitacional universal, M la masa de la Tierra y épsilon la energía específica. Podrías multiplicar la constante gravitacional universal por la masa de la Tierra una vez y usarla como constante. De hecho, es una constante y tiene un nombre, la constante gravitatoria geocéntrica, y es igual a$398600 {km^3}/{sec^2}$(suponiendo que no desea convertir sus altitudes, radios y eje semi-mayor a metros).

El semieje mayor es la mitad del eje mayor. Necesita que el eje largo esté al menos a 150 km sobre la superficie de la Tierra (con un radio de la Tierra de 6378 km). Por lo tanto, su a debe tener unos 3265 km.

Tu energía total es la suma de la energía cinética y la energía potencial. Tu energía potencial depende de tu distancia al centro de la Tierra:

$U=−\frac{GM}{r}$

donde U es energía potencial (por unidad de masa) y r es tu distancia desde el centro de la Tierra. En la superficie de la Tierra, r es igual al radio de la Tierra.

La diferencia entre tu energía específica total y tu energía potencial tiene que ser igual a tu energía cinética, que es:

$T=\frac{1}{2}{v^2}$

donde T es tu energía cinética (por unidad de masa) y v es tu velocidad.$1.7 km/sec$debería llevarte a una altitud de 150 km.

Puede combinar todo lo anterior en una sola ecuación y solo tiene que determinar el semieje mayor adecuado para que funcione:

$v=\sqrt{GM\frac{2}{r}−\frac{1}{a}}$

Tu r siempre será igual al radio de la Tierra, mientras que a se verá afectado por la altitud que quieras alcanzar.

Ahora fíjate, tu 'órbita' golpeará virtualmente el centro de la Tierra, por lo que solo alcanzarás la altitud deseada una vez. Si realmente desea orbitar a una altitud determinada, su eje semi-mayor debe ser lo suficientemente grande como para que el perigeo también pase por alto la Tierra.

Bono: el Mapa Delta-V del Sistema Solar