A una altura de 100 km, ¿qué velocidad necesitas para escapar de la gravedad de la Tierra?

Entiendo que la velocidad de escape de la Tierra es de 11 km/s. Sin embargo, la esfera de influencia gravitacional de la Tierra no es infinita, por lo que es posible ir más despacio que eso y aun así escapar de la esfera de influencia (debido al sol). Si un cohete comienza a acelerar desde 0 en la superficie de la Tierra, ¿qué velocidad tendría? ¿Ir a, digamos, 100 km sobre la superficie de la Tierra para escapar de la gravedad de la Tierra? ¿Cómo calcularías esto?

De dónde parte el cohete es irrelevante. Todo lo que necesita es la fuerza gravitatoria a la altitud de interés para calcular la velocidad de escape en ese lugar.
La velocidad de escape es una función de la altitud sobre un cuerpo y la masa de ese cuerpo, no es un valor fijo único. La velocidad de escape a 1000k es diferente a la velocidad de escape en la superficie de la tierra.

Respuestas (2)

La esfera de influencia de la Tierra tiene un radio de unos 924 000 km. Una órbita altamente excéntrica con un perigeo a 100 km de altitud y un apogeo en el radio SOI tiene un semieje mayor de 465239 km. Arrojando eso a la ecuación vis-viva v 2 = GRAMO METRO ( 2 r − 1 a ) dónde GRAMO es la constante gravitacional, METRO la masa de la tierra, r el radio orbital (no la altitud) en el perigeo y a el semieje mayor de la órbita da una velocidad en el perigeo de 11,05 km/s. Usando la ecuación de velocidad de escape V mi = 2 GRAMO METRO r obtendría una velocidad de escape a 100 km de altitud de 11,09 km/s, por lo que se puede ahorrar un poco , pero en realidad, el borde de la esfera de influencia está bastante lejos.

Si bien esto no es exactamente lo que pediste, me sorprendería si tu trayectoria de ascenso directo involucrara una velocidad dramáticamente diferente de esta cifra.

Estás abordando un problema simple de una manera difícil :-)
@CarlWitthoft eh, funciona. ¿Algo realmente cuenta como difícil si no implica resolver nada, o incluso involucrarse en alguna integración?
Esto en realidad no responde la pregunta.

La esfera de influencia gravitacional de la Tierra no es infinita

Ese es tu problema. La fuerza de la gravedad tiene un rango infinito. No hay lugar en el universo donde no se sienta la gravedad de la tierra.

Como resultado, no importa por dónde empieces, para escapar de la tierra necesitas 11 km/s con respecto a la tierra. Si primero entra en órbita a 100 km, entonces ya necesita una velocidad de 7 km/s para eso. Desde esa órbita, solo necesita 4 km/s adicionales para escapar de la Tierra por completo, pero solo porque ya va a 7 km/s.

EDITAR

Como señaló @uhoh, la velocidad de escape varía con la altitud. Sin embargo, la diferencia a los 100 km es tan pequeña que la ignoré. Al igual que el OP, aproximé la velocidad de escape a 11 km/s. De hecho, a ras de suelo es de 11,186 km/s, ya 100 km se reduce a 11,099 km/s.

La misma aproximación también ignora el hecho de que, si estás lo suficientemente lejos de la tierra (924.000 km), la gravedad del sol es más fuerte que la de la tierra, y sales de la Esfera de influencia de la tierra, que no es una esfera exacta. Esto se complica aún más por el hecho de que ignora la influencia de los otros planetas y la luna. Por ejemplo, al viajar a la luna, el campo gravitatorio de la luna supera al de la tierra (y al del sol) cuando estás a unos 40.000 km de la luna.

La esfera de influencia gravitacional de la Tierra es ciertamente finita y tiene un radio de 945.000 km. Le recomiendo que eche un vistazo a ese enlace y luego revise su respuesta en consecuencia. Es cierto que no hay límite para un 1 / r 2 fuerza (aparte de la velocidad de la luz), pero "esfera de influencia" es un término técnico bien reconocido.
Además, la velocidad de escape de la Tierra es ciertamente más baja a 100 km, ¡un 0,8% más baja, de hecho! Ignorando el arrastre y la rotación atmosféricos, si es de 11,186 km/s en la superficie (la velocidad balística necesaria para escapar asintóticamente al infinito), solo necesitaría 11,099 km/s a partir de 100 km de altitud.
La velocidad de escape de un cuerpo depende de la altitud inicial, como queda claro cuando recuerdas que no importa desde qué altitud comiences, la gravedad de ese cuerpo te desacelerará todo el camino.
@uhoh Tu comentario me parece una respuesta bastante decente. ¿Puedo sugerirle que lo amplíe un poco en uno?
@DiegoSánchez mis comentarios son para entrenar; con suerte, el autor revisará la respuesta y usará algo de esto. Si eso sucede, revertiré mi voto negativo temporal a un voto positivo. Cuando las personas revisan una publicación en respuesta a un comentario, generalmente dejan un mensaje corto como " @uhoh I've made an edit, how does that look?Recibiré una notificación y puedo ajustar mi voto". Mientras tanto, si alguien más publica una respuesta, ¡también sería genial!
A una altura de 100 km, ¿qué velocidad necesitas para escapar de la gravedad de la Tierra?
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