¿Cómo puede o describe el cálculo el movimiento de una partícula?

Aquí hay una breve introducción histórica ideosincrática al cálculo.

Cálculo de diferencias finitas

Considere este problema de una prueba de coeficiente intelectual típica:

2 5 10 17 26 ?

¿Cuál es el próximo número que esperas en la secuencia? (esto no es difícil, debes hacerlo). El n-ésimo término de la sucesión viene dado por:

$$n^2 + 1$$

como puede ver al sustituir n=1,2,3,4,5, entonces el siguiente término es 37. Pero si resolvió el problema, probablemente notó primero que las diferencias son:

5-2 = 3 10-5 = 5 17-10 = 7 26-17 = 9

y luego completó 37 sumando 11 a 26. Esto que hizo arriba, de encontrar la diferencia entre términos sucesivos, se llama "sacar la primera diferencia", y dada cualquier secuencia de números$A_n$, la secuencia derivada

$$\Delta A_n = A_{n+1} - A_{n}$$

A partir de la definición, se puede comprobar

$$\Delta 1 = 0$$ $$\Delta n = 1$$ $$\Delta n^2 = 2n+1$$ $$\Delta n^3 = 3n^2+3n+1$$ $$\Delta n^4 = 4n^3 + 6n^2 + 4n + 1$$ $$\Delta 2^n = 2^n$$ $$\Delta {1\over n} = - {1\over n(n+1)}$$

y puedes probar las propiedades generales

$$A_n + \Delta A_n = A_{n+1}$$ $$\Delta (A + B) = \Delta A + \Delta B$$ $$\Delta cA = c \Delta A$$

esto dice que$\Delta$es un operador lineal. Además, tienes una regla de producto.

$$\Delta (AB) = A \Delta B + B \Delta A + \Delta A\Delta B$$ $$\Delta (AB)_n = A_{n+1} \Delta B_n + B_n \Delta A_n$$

Así que ahora puedes ver que

$$\Delta (n^2 - n) = (2n+1 - 1) = 2n$$ $$\Delta (n^2 2^n) = (2n+1) 2^{n+1} + n^2 2^n = (n^2 + 4n + 2) 2^n$$

Etcétera. Es una buena práctica hacia el cálculo encontrar la secuencia derivada de todas las funciones comunes. Esto fue hecho por los primeros matemáticos modernos, y este cálculo de diferencias finitas inspiró directamente el cálculo.

La identidad principal es el teorema fundamental de las secuencias derivadas: la suma de la secuencia derivada se encuentra a partir de la secuencia original. Por ejemplo, 3+5+7+9+11 = 37 - 2 (porque la suma de las diferencias aumenta la secuencia). Convéncete de que es cierto (o demuéstralo por inducción). De modo que

$$\sum_{k=a}^{b} \Delta A_k = A_{b+1} - A_a$$

Esta es una fórmula notable, porque ahora aprende una fórmula de suma de cada fórmula de diferencia anterior:

$$\sum_{n=a}^b (2n+1) = (b+1)^2 - a^2$$ $$\sum_{n=a}^b (2n) = 2 \sum_{k=a}^b n = b(b+1) - a(a-1)$$ $$\sum_{n=a}^b 2^n = 2^{b+1} - 2^a$$

La segunda diferencia se define como la diferencia de la diferencia:

$$\Delta^2 A_n = \Delta \Delta A_n = (A_{n+2} -2 A_{n+1} +A_n)$$

De modo que

$$\Delta A_n + \Delta^2 A_n = \Delta A_{n+1}$$

y esto dice

$$A_{n+2} = A_n + \Delta A_n + \Delta A_{n+1} = A_n + 2\Delta A_n + \Delta^2 A_n$$

y así sucesivamente para terceras diferencias, etc. Puedes probar que si dos secuencias tienen todas

$$A_0, \Delta A_0, \Delta^2A_0, \Delta^3 A_0 , ...$$

iguales, entonces las dos sucesiones son iguales, ya que la única manera de que las n-ésimas diferencias concuerden es si los primeros n términos son iguales.

Hay una buena cantidad que puedes definir:

$$n^{(k)} = n(n-1)(n-2)...(n-k+1)$$

y por completitud,$n^(0)=1$. el factorial$n!=n^{(n)}$por definición. Esta definición alternativa de elevar a una potencia tiene la propiedad de que

$$\Delta n^{(k)} = k n^{(k-1)}$$

Y en términos de esta cantidad, existe una expresión formal para el término n-ésimo de cualquier secuencia

$$A_n = A_0 + \Delta A_0 n + \Delta^2 A_0 {n^{(2)}\over 2!} + \Delta^3 A_0 {n^{(4)}\over 4!} + ...$$

y esto da una expresión polinomial explícita cuyas primeras n diferencias en 0 coinciden con las de la secuencia A. Esto le permite ajustar fácilmente un polinomio a cualquier punto espaciado uniformemente.

Lo anterior parece una suma infinita, pero en una posición entera, solo un número finito de términos son distintos de cero. Si es convergente como una serie infinita, puede esperar que interpole buenos valores no enteros para una secuencia que se comporte razonablemente bien.

Esto se llama la serie Gregory, y fue desarrollado por Gregory en la primera mitad del siglo XVII. Gregory usó esto para dar expansiones de series polinómicas infinitas para funciones trigonométricas comunes, incluida la arco-tangente. Esto parece una bolsa de trucos formales que no es particularmente más perspicaz de lo que puedes ver con solo jugar con la intuición. Aún así, te permite probar rápidamente todas las molestas sumas de identidades que aprendes en la escuela secundaria.

Cálculo infinitesimal

Considere ahora una sucesión definida no en los puntos 1, 2, 3,..., sino en una cuadrícula muy fina de puntos espaciados$\epsilon$aparte, de modo que el punto n-ésimo está en la posición$n\epsilon$. Todas las ideas del apartado anterior se trasladan a esta situación, ya que lo único que hay que hacer es reescalar todo para que quede la unidad de longitud$\epsilon$, y los puntos se encuentran encima de los enteros.

En este caso, la secuencia$A(n)$se convierte en una función$A(x)$definida en todas las x de la red. La sucesión derivada es

$$\Delta_\epsilon A = A(x+\epsilon) - A(x)$$

Y puedes verlo como$\epsilon$va a cero, va a cero. Para una función típica, como la multiplicación o elevar 2 a una potencia, podemos preguntar, ¿cómo llega a cero?

$$\Delta x^2 = (x+\epsilon)^2 - x^2 = 2x \epsilon + \epsilon^2$$

Esta es solo la versión reescalada de la primera diferencia de$n^2$(Puede resolverlo directamente, y es bueno si lo hace). La lección es que la cosa tiende a desaparecer linealmente , lo que significa que si$\epsilon$es pequeña, y se hace el doble de pequeña, su secuencia derivada generalmente se hace aproximadamente el doble de pequeña.

Entonces puedes sacar esta escala y definir la derivada de f

$${df\over dx} = {\Delta f \over \epsilon} = {\Delta f\over \Delta x}$$

Donde la idea aquí es que definas la derivada para cada$\epsilon$, y deja$\epsilon$se vuelve tan minúsculo que la derivada deja de cambiar. Esto nunca sucede para cualquier valor positivo finito distinto de cero de$\epsilon$, por lo que es formalmente útil introducir el concepto de un infinitesimal $\epsilon$.

un infinitesimal$\epsilon$es un$\epsilon$que es tan pequeño que se comporta como si fuera cero con el fin de comparar el orden de magnitud, pero aún no es cero. Puede definirse formalmente como un procedimiento: dada cualquier cantidad que pueda calcular con$\epsilon$, la cantidad para infinitesimal$\epsilon$se define como el valor límite como$\epsilon$se vuelve más pequeño de la cantidad finita.

Llamaré al limite infinitesimal$dx$, como en "la diferencia entre los sucesivos valores permitidos de x". Es importante no leer esto como "d por x", sino como una versión más redonda de$\Delta A$, lo cual no es$\Delta$veces$A$, pero$\Delta$de$A$. Entonces la derivada se puede calcular a partir de las diferencias finitas:

$${ d x^2 \over dx} = 2x + dx = 2x$$

Donde he tirado el término infinitesimal. Asimismo, el análogo de$x^{(k)}$es

$$x^(k) = x(x-dx)(x-2dx)...(x-ndx) = x^k$$

De modo que

$${d\over dx} x^k = k x^{k-1}$$

Más,

$${d\over dx} {1\over x} = - {1\over x^2}$$

Dado que el análogo de red pequeña de${1\over x(x+1)}$es$1\over x(x+dx)$.

La derivada de una función f también se llama f'. Hay una noción de una segunda derivada, derivada de la segunda diferencia --- es la derivada de la derivada. En un enrejado:

$$f''(x) = { f(x+\epsilon) - 2f(x) + f(x-\epsilon)\over \epsilon^2}$$

en el límite como$\epsilon$va a cero. Esta es la fórmula de la segunda diferencia, pero ahora dividida por$\epsilon^2$como se requiere de la forma típica en que la segunda diferencia se desvanece. La diferencia se desvanece como la primera potencia de$\epsilon$, y si tuvieras que dividir por$\epsilon$, obtendrías algo constante, y la diferencia de esta cosa se desvanece como$\epsilon$. Entonces la segunda diferencia tiende a cero como la segunda potencia de$\epsilon$.

Puede definir terceras derivadas, y así sucesivamente. Por lo general, un físico tiene que estar familiarizado con estas formas discretas de la segunda derivada, ya que hay muchos casos, como las redes atómicas en un sólido, donde hay una relación real, real.$\epsilon$, y solo estás tratando con un continuo aproximado. Es probable que toda noción de continuo espacial esté relacionada con una cantidad límite que en nuestro universo es grande, pero finita.

Las propiedades del cálculo de diferencias finitas se traducen en derivadas de manera muy simple:

• {d\sobre dx}(f+g) = f' + g'
• {d\sobre dx} (fg) = f'g + fg'

De todos modos, ir al cálculo infinitesimal te da algunas cosas nuevas: 1. Las fórmulas se simplifican un poco, ya que solo te interesan las asintóticas. 2. La derivada da un significado a la noción de "cuánto vas en un tiempo infinitesimal", y esto define la noción de velocidad en un tiempo dado. 3. La derivada obedece la regla de la cadena.

La regla de la cadena es una regla para funciones compuestas, f(g(x)). En el caso discreto, no podrías hacer nada al respecto, porque no hay una relación entre f(g(n+1)) y f(g(n)) que sea simple con respecto a f y g, ya que los pasos que da g podría ser grande. Puedes escribir esto como

$$f(g(n+1)) = f(g(n) + \Delta g)$$

pero ahora estás atascado, ya que$\Delta g$no es necesariamente un número entero.

Pero para redes infinitesimales,$\Delta g$sigue siendo infinitesimal, y este problema se desvanece. Lo sabemos$\Delta g$es pequeño, por lo que

$$f(g(x+\epsilon)) = f(g(x) + g'(x)\epsilon) = f(g(x)) + f'(g(x))g'(x)\epsilon$$ ,

para que aprendas la derivada de funciones compuestas. De esto aprendes

$${1\over x^n} = - {1\over (x^n)^2} n x^{n-1} = -{n\over x^{n+1}}$$

Esta derivada se ajusta al mismo patrón que las potencias positivas, excepto que reemplaza un número negativo en el exponente. De la regla de la cadena, tienes el siguiente teorema. Si f(x) y g(x) son funciones inversas, entonces:

$$f(g(x)) = x$$

Diferenciando ambos lados:

$$f'(g(x))g'(x) =1$$

por lo que la derivada de la función inversa g está determinada por la derivada de f en la ubicación de g:

$$g'(x) = {1\over f'(g(x))}$$

Usando esta fórmula para$f(x) = x^2$, aprendes eso

$${d\over dx} \sqrt{x} = {1\over 2\sqrt{x}}$$

de nuevo, el mismo patrón$k x^{k-1}$, ¡excepto ahora con potencias semienteras! Ahora puedes probar esto en general usando funciones inversas para 1/n y continuidad.

El teorema de la suma se vuelve más impresionante:

$$\int_a^b f'(x) dx = f(b) - f(a)$$

Donde la integral simplemente significa la suma de todos los valores de f en la red, multiplicada por el espaciado de la red.

$$\int f(x) dx = \sum_x f(x) \epsilon$$

Donde la suma es sobre x en el intervalo a,b en pasos de$\epsilon$comenzando en a. Esto tiene la interpretación en la gráfica de f como el área bajo la curva de f.

Además, para una función general, se espera que si

$$f(0) = g(0)$$ $$f'(0) = g'(0)$$ $$f''(0)=g''(0)$$

y así sucesivamente, tendrás f(x)=g(x). Esto no es cierto, pero es cierto para una clase de funciones de gran importancia, que se denominan "funciones analíticas". Las funciones analíticas obedecen al análogo de la serie de Gregory:

$$f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0) {x^2\over 2} + f'''(0) { x^3\over 3!} ...$$

Lo que generalmente se llama serie de Taylor, pero Newton y sus contemporáneos ya lo conocían (que ya estaban familiarizados con las series de Gregory).

Entonces ven que el cálculo es simplemente un método para definir un método de cálculo límite para diferencias finitas donde toda la arbitrariedad y fealdad de las diferencias finitas desaparecen. Es esencial para el movimiento, porque te dice lo que significa "velocidad" en cualquier momento. Es esencial para la física, porque describe cómo las cantidades cambian continuamente, de la misma manera que el negocio de las diferencias finitas describe cómo las cantidades cambian discretamente.

Como buen libro recomendaría el cálculo de Lang, aunque está bien para aprender todo lo que aparece en cada libro (no hay tanto).

No hay una respuesta simple a su pregunta. El tipo de cálculo básico que necesita para comprender las ecuaciones de movimiento no es matemática especialmente difícil, pero lleva un tiempo acostumbrarse a él. Tu perfil dice que tienes 16 años, así que supongo que si estudias Física y Matemáticas en la escuela, pronto estarás aprendiendo cálculo. En el Reino Unido, lo aprendes como parte de tu curso de nivel A, que es de los 16 a los 18 años.

Si quieres intentarlo ahora, te diría que encuentres un libro razonablemente amigable sobre cálculo. Buscaría un libro dirigido a físicos, ya que los libros de matemáticas sobre cálculo tienden a tener un énfasis algo diferente. No puedo recomendar un libro porque hace 35 años (!!) que comencé a aprender cálculo y hace mucho que olvidé qué libros usé. Hice un escaneo rápido a través de la vista previa de "The Complete Idiot's Guide to Calculus" en amazon.com y me pareció razonablemente amigable. Conseguiría una copia de eso y vería cómo te va. Sin embargo, ten cuidado, no es algo que vas a aprender en una tarde.

"Cycles of Time" es un libro un poco extraño, ya que no puede decidir si es un libro de divulgación científica en la línea de "Una breve historia del tiempo" o un libro científico propiamente dicho. Creo que se las arregló para no ser ninguno. A pesar de lo que Penrose pueda haberle dicho, es probable que comprender todo lo que se encuentra en el libro esté mucho más allá de usted, incluso después de haber dominado el cálculo básico.

Muy brevemente... Estoy siguiendo el consejo de otros aquí al presentar una breve lista de los recursos que busqué para responder un par de preguntas.

• Bastante ligero y significativamente incompleto, sin embargo, se actualiza constantemente:

Wikilibro sobre cálculo

• ¡Un poco desconectado entre lecciones pero bastante completo y los videos son maravillosos!

OpenCourseWare del MIT

• Básicamente, una aproximación cercana a su próximo plan de estudios de dos años en Matemáticas con todo el cálculo generalmente allí:

Siyavula Grados 10-12 Libros de Matemáticas | El Proyecto de Aprendizaje Gratuito para Todos

Eso no es todo... Pero eso fue todo lo que pude encontrar en mis marcadores en este momento. Otros harían un mejor trabajo que yo al recomendar libros profesionales y comerciales.

Quizás la manera más simple y grandiosa de describir el cálculo es: 'el estudio matemático del cambio '. En la práctica, y de forma sencilla, este general significa integrales y derivadas de funciones.

Si una función dada corresponde a algún valor de interés$f$que es una función de un parámetro$x$, entonces la derivada de esa función describe el cambio de$f$con respecto a (por ejemplo)$x$. Si en cambio,$f$representa a sí misma alguna cantidad de cambio, entonces la integral de$f$describe la cantidad total de cambio.

Sin cálculo, solo puede considerar cada nivel de forma independiente.... es decir, puede considerar la cantidad, o puede considerar el cambio en esa cantidad, pero no puede relacionar los dos.

Por ejemplo, la velocidad es el cambio en ( derivado de ) posición . O alternativamente, la posición es la diferencia acumulada ( integral ) de la velocidad . Relacionar la posición con la velocidad requiere cálculo. Por ejemplo, la ecuación fundamental 'la velocidad es igual a la distancia en el tiempo' ($v=d/t$) es un resultado del cálculo---aunque ciertamente es lo suficientemente simple como para llegar a él solo por razonamiento.

Comprender la conexión entre una cantidad y el cambio en esa cantidad subyace a la naturaleza dinámica fundamental de la física. Todas las velocidades son cambios de posición. Todas las fuerzas pueden describirse como resultantes de diferencias de potencial; que luego producen aceleraciones que son cambios en la velocidad. El cálculo proporciona las herramientas para analizar cuantitativamente estas relaciones.