¿Cómo puede actuar la presión tanto en dirección hacia arriba como hacia abajo?

La presión no es realmente un vector, pero está relacionada con muchas cantidades vectoriales. La presión* es en realidad un escalar (es decir, es "solo un número", tiene una magnitud, pero no una dirección, en cualquier punto del espacio); específicamente, es un escalar que se deriva de un objeto más complicado llamado tensor de tensión que contiene información sobre las fuerzas en cada punto del espacio en un material. Dado que las fuerzas son vectores, y las fuerzas son las entradas para el tensor de tensión que finalmente da lugar a la presión, se podría decir que la presión se deriva de cantidades vectoriales , que es básicamente lo que muestra su diagrama.

Otra forma en que la presión se relaciona con las cantidades vectoriales es cuando se calcula la fuerza de flotación. Hacer tal cálculo requiere que tome el gradiente de la presión; el gradiente es una operación que convierte una función escalar en una función vectorial. Específicamente, describe cuánto y en qué dirección cambia la presión a medida que se mueve a través de un material. Entonces, también es cierto que el gradiente de presión es un vector , que es básicamente a lo que @zeta-band se refiere en los comentarios.

* Técnicamente, a lo que me refiero aquí es a la presión estática , a diferencia de la presión dinámica , porque a eso parece referirse su diagrama. Si su libro de texto en realidad significaba presión dinámica (es decir, la energía cinética del fluido en movimiento), entonces sigue siendo un escalar, pero hay una cantidad estrechamente relacionada, la densidad de momento , que es un vector.

La presión no es un vector. Es la fuerza por unidad de área, y la fuerza actúa perpendicularmente al área. La presión en el fluido se debe al movimiento de las moléculas. La fuerza surge debido a los intercambios de cantidad de movimiento. Dado que las moléculas se mueven aleatoriamente en todas las direcciones, hay un intercambio de cantidad de movimiento con diferentes planos. La transferencia de cantidad de movimiento ocurre en una dirección perpendicular al plano. Por lo tanto, actúa en todas las direcciones en todos los puntos de un fluido.

Cuando se considera la gravedad, el peso del fluido proporciona la fuerza. Cuando actúa sobre las superficies superior e inferior proporciona una presión. Entonces entre dos profundidades hay una diferencia en el peso del fluido. Imagina reemplazar la lata de frijoles por un cilindro circular del mismo tamaño y que sea un volumen de fluido de masa$m$y el área de la sección transversal, es decir, el área de la cara circular plana de la lata)$A$y altura$h$encontramos que en equilibrio las fuerzas suman cero para dar

Para un fluido de densidad constante$\rho$la masa esta dada por$m=\rho V$. Escribiendo$V=Ah$obtenemos

Al dividir por el área de la sección transversal, que es el área de la cara circular de la lata de frijoles en tu pregunta, obtenemos

Véase "Fundamentos de la física" de Cutnell & Johnson.

Editar: Al leer más, descubrí que la presión en un fluido también se debe a las fuerzas interatómicas/intermoleculares. Hay moléculas alrededor de una sola molécula individual y están en movimiento y ejercen fuerzas entre sí. Esto explica por qué la presión actúa en todas direcciones en un líquido. Por tanto, la presión no es un vector. La explicación microscópica de la presión en un líquido se analiza en la respuesta a la pregunta de Physics StackExchange Interpretación microscópica de la presión en los líquidos

Presión es una palabra ambigua. Puedo aplicar presión a una chincheta, y eso es una fuerza, y es un vector. Pero, también hablamos de presión de aire, o presión hidráulica, refiriéndose a una cantidad escalar llamada presión hidrostática. La diferencia es que la presión hidrostática se cuantifica como fuerza por unidad de área y representa el hecho de que cualquier pequeña parte de un fluido puede salir de un recipiente, en cualquier dirección.

Apriete una botella de polietileno de mostaza, y la fuerza lateral de su mano presuriza el interior, y chorrea... hacia arriba, hacia abajo o hacia donde apunte la boquilla. La fuerza de tus manos sobre los lados de la botella es fuerza vectorial (y si empujas de un lado, la botella acelera), pero la presión de la mostaza contenida es presión hidráulica, que puede impulsar la mostaza a través de cualquier abertura, en cualquier lugar. dirección.

El comportamiento de los fluidos incompresibles (volumen constante pero sin forma particular) hace que los dispositivos de trabajo sean útiles, con la presión hidráulica como una variable importante, pero esa variable no recibió un nombre de una sola palabra que la distinga de mi pulgar presionando una tachuela. Y el comportamiento de los fluidos comprimibles (como el aire en un neumático) también es útil, de una manera diferente, parecida a un resorte. También se llama presión o presión hidrostática (pero generalmente no presión hidráulica).

Quizás este simple ejemplo te muestre que la presión no es un vector.

En el diagrama debajo de la línea discontinua$AB$es horizontal y la lata está sumergida en un fluido.
La presión en cada punto a lo largo de la línea$AB$es el mismo.

Tenga en cuenta lo que sucede cuando la parte superior de la lata de frijoles se coloca a lo largo de la línea$AB$y luego el fondo de la lata se coloca a lo largo de la línea$AB$.

En ambos casos, los extremos de la lata experimentan la misma presión, sin embargo, la fuerza que se ejerce sobre el extremo de la lata se invierte.

es la fuerza$\vec F$ejercida por el fluido que es la cantidad vectorial.

Posiblemente la confusión surge porque la presión se define como la fuerza dividida por el área$P=\frac FA$y debido a que el lado derecho de la ecuación definitoria es un vector$\vec F$así debe ser la mano izquierda que es la presión.

Sin embargo, esto no es correcto porque la dirección de la fuerza en realidad está relacionada con la orientación del área; la fuerza es perpendicular al área.

¿Cómo se puede escribir esto como una ecuación vectorial que define la presión?

El área se convierte en una cantidad vectorial usando la relación$\Delta \vec A = \Delta A \,\hat n$dónde$\Delta A$es el área y$\hat n$es un vector unitario que forma ángulos rectos con el área.
El uso de$\Delta$s es para mostrar que incluso si tiene una superficie grande que es curva, se puede pensar que esa superficie curva está formada por muchas superficies pequeñas que son planas.

Ahora uno puede escribir$\Delta \vec F = - P \, \Delta A \,\hat n$como la ecuación vectorial definitoria para la presión con la presión como un escalar.

El signo menos está ahí porque la dirección de la normal al área es opuesta a la dirección de la fuerza ejercida por el fluido.

Convertir esto a una ecuación escalar es simple.

$\Delta \vec F = - P \, \Delta A \,\hat n \Rightarrow \Delta F \,(-\hat n) = - P \, \Delta A \,\hat n \Rightarrow \Delta F = P\,\Delta A$