¿Cómo podemos interpretar la polarización y la frecuencia cuando estamos tratando con un solo fotón?

Las ecuaciones de Maxwell definen exactamente la propagación de un fotón solitario en el espacio libre. El estado de un fotón se puede definir mediante un estado de valor vectorial en el espacio de Hilbert y este estado de valor vectorial es una analogía matemática precisa del$\vec{E}$y$\vec{H}$campos de un campo clásico macroscópico. Eso no quiere decir que, para un solo fotón, el$\vec{E}$y$\vec{H}$deben interpretarse como campo eléctrico y magnético: el vector valorado$\vec{E}$y$\vec{H}$El estado es el estado cuántico en evolución unitaria antes de que se realice cualquier medición. Pero:

Existe una correspondencia biunívoca entre cada campo electromagnético clásico para un sistema dado y un estado cuántico de un fotón para un fotón que se propaga en ese sistema.

Esta es la primera descripción cuantificada del fotón. Para entender qué medidas implica un estado de fotón, uno tiene que cambiar a una segunda descripción cuantificada donde tenemos observables de campo magnético y eléctrico, cuyas medidas se comportan cada vez más como medidas clásicas a medida que aumenta el número de fotones. Un estado clásico es un estado coherente del segundo campo cuantificado. Pero, dado que un fotón puede describirse mediante un estado cuántico de valor vectorial, debería quedar claro que la polarización y todos los atributos "clásicos" similares son significativos para un fotón solitario.

En particular, un fotón puede ser una superposición cuántica de estados propios, por lo que:

Un fotón se puede distribuir en un rango de frecuencias y longitudes de onda (es decir, puede estar en una superposición de estados propios de energía), posiblemente con una polarización diferente para todos los componentes de la superposición.

Incluso se puede ampliar este concepto a la propagación a través de medios dieléctricos: la luz se convierte en una superposición cuántica de fotones libres y estados de materia excitados, y la única y primera cuasipartícula cuantificada que resulta de esta superposición (estrictamente hablando, un "polaritón" en lugar de un verdadero, fundamental, fotón) tiene un estado cuántico que evoluciona siguiendo las ecuaciones de Maxwell resueltas para el medio. Así, por ejemplo, hablamos de fotones solitarios que se propagan en los modos enlazados de las fibras ópticas.

Otra versión del estado de un fotón se da en el primer capítulo de Scully y Zubairy "Quantum Optics" . El estado de un fotón$\psi$puede definirse mediante las estadísticas del conjunto derivadas de los segundos observables de campo magnético y eléctrico cuantificados:

$$\vec{E} = \left(\begin{array}{c}\left<0 | \hat{E}_x | \psi\right>\\\left<0 | \hat{E}_y | \psi\right>\\\left<0 | \hat{E}_z | \psi\right>\end{array}\right);\quad\quad \vec{B} = \left(\begin{array}{c}\left<0 | \hat{B}_x | \psi\right>\\\left<0 | \hat{B}_y | \psi\right>\\\left<0 | \hat{B}_z | \psi\right>\end{array}\right)$$

dónde$\hat{E}_j$es el$j^{th}$componente del campo eléctrico de valor vectorial observable y$\hat{B}_j$el de los observables de inducción magnética. ($[\hat{E}_j, \hat{B}_j]=0$por$j\neq k$y, en las unidades correctas,$[\hat{E}_j, \hat{B}_j]=i\,\hbar\,I$). Para un estado de un fotón$\psi$, estas estadísticas:

1. Propagar siguiendo exactamente las ecuaciones de Maxwell;
2. Defina unquely el estado cuántico del campo de luz para un estado de un fotón, aunque no sean el estado. Esto es de la misma manera que la media de la distribución de probabilidad clásica de Poisson define de manera única la distribución (aunque es un número solitario, no una distribución).

Las cosas son mucho más complicadas para el general,$N$estados de fotones, por lo que necesitamos mucha más información que medios simples para definir completamente el estado cuántico, particularmente con estados entrelazados. Volviendo a nuestra analogía clásica de distribución de probabilidad, la distribución normal necesita dos parámetros independientes, la media y la varianza, para especificarla por completo, por lo que es algo más complicado que la distribución de Poisson, que se define solo por su media (que es igual a la varianza) Entonces, los campos cuánticos son cosas mucho más complicadas que las clásicas. Pero un coherenteel estado de cualquier fotón se define de nuevo de forma única por los valores medios de los observables de campo, lo que significa que se propaga de nuevo siguiendo las mismas ecuaciones de Maxwell que los medios de un fotón: por lo tanto, la correspondencia uno a uno entre los estados clásico y de un fotón Hablé de - Me gusta llamar a esto el principio de correspondencia de un fotón ("OpCoP"). Por qué nuestros campos EM macroscópicos parecen comportarse como estados cuánticos coherentes en lugar de estados entrelazados enormemente más generales (a menos que uno haga un esfuerzo experimental considerable para observar el entrelazamiento) sigue siendo una pregunta abierta. Sin embargo, es interesante notar que la clase de estados coherentes es la única clase de estados del oscilador armónico cuántico que alcanzan el límite inferior de la desigualdad de incertidumbre de Heisenberg.

También vea mis respuestas a:

1. Si los fotones llevan 1 unidad de espín, ¿por qué la luz visible parece no tener momento angular? y
2. Radiación electromagnética y cuantos .

Por cierto, aunque los estados de luz enredados generales son mucho más complicados que los estados de luz de un fotón (y, de manera equivalente a través de OpCoP, clásicos), en principio aún podemos descomponerlos en una superposición cuántica de productos tensoriales de estados coherentes y así representar un estado general por un conjunto de medios observables de campo. Esta fue una de las aportaciones del Premio Nobel de 2005 Roy Glauber, quien demostró lo anterior en 1963 en:

R. Glauber, "Estados coherentes e incoherentes del campo de radiación", Phys. Rev. 131, 2766–2788 (1963)

Sin embargo, los productos del tensor de estado coherente están demasiado completos, por lo que la descomposición de un estado cuántico general en estados coherentes no es única. No obstante, tal descomposición permite aplicar técnicas de tipo clásico a los estados cuánticos entrelazados (en principio, ¡en la práctica sigue siendo complicado!).

Si buscas en Google a Iwo Bialynicki-Birula y su trabajo sobre la función de onda de fotones, tiene mucho más que decir sobre la función de onda de un fotón. Él define la función de onda del fotón como la parte de frecuencia positiva de las funciones propias polarizadas circularmente izquierda y derecha.$\vec{F}_\pm = \sqrt{\epsilon} \vec{E} \pm i \sqrt{\mu} \vec{H}$. El sitio web personal de Iwo Bialynicki-Birula es http://cft.edu.pl/~birula y todas sus publicaciones se pueden descargar desde allí.$|\vec{F}_+|^2 + |\vec{F}_-|^2$es la densidad de energía electromagnética. Él define la pareja.$(\vec{F}_+, \vec{F}_-)$, normalizado de modo que$|\vec{F}_+|^2 + |\vec{F}_-|^2$se convierte en una densidad de probabilidad de absorber el fotón en un punto particular, para ser una primera función de onda del fotón cuantificada (sin una posición observable). Hay un producto interno especial no local para definir el espacio de Hilbert y en tal formalismo el observable hamiltoniano general es$\hbar\, c\, \mathrm{diag}\left(\nabla\wedge, -\nabla\wedge\right)$. Consulte también el resumen conciso de Arnold Neumaier ( aquí ) de un resultado clave en la sección 7 de la "Función de onda de fotones" de Bialynicki-Birula en Progress in Optics 36 V (1996), págs. 245-294, también descargable desde arXiv:quant-ph/ 0508202 . El espacio de Hilbert de pares de vectores de Riemann Silberstein que Bialynicki-Birula define es actuado por una representación unitaria irreducible, definida por los observables de Bialynicki-Birula$\hat{H}$,$\hat{\mathbf{P}}$,$\hat{\mathbf{K}}$y$\hat{\mathbf{J}}$, del grupo completo de Poincaré presentado en el artículo.

Si la polarización se interpreta como un patrón/dirección del campo eléctrico en una onda electromagnética y la frecuencia como la frecuencia de oscilación, ¿cómo podemos interpretar la polarización y la frecuencia cuando tratamos con un solo fotón?

La onda clásica está compuesta por un gran conjunto de fotones. Tanto las ecuaciones fotón/partícula como las ecuaciones de Maxwell contienen el estado del campo eléctrico en sus soluciones. Por lo tanto, no es una cuestión de interpretación, sino una cuestión de mostrar cómo a partir de fotones individuales individuales descritos matemáticamente por la ecuación de la segunda cuantización como tal, se puede derivar para un conjunto de fotones la onda electromagnética.

Esto no es simple, pero se ha hecho. Se da una demostración en el artículo de este blog .

Mano agitando una respuesta: las funciones que describen los fotones tienen que ser coherentes (en fase), luego las constantes en su descripción matemática que pertenecen al campo eléctrico y magnético "milagrosamente" construyen un campo electromagnético clásico que lleva la frecuencia que está contenida en la descripción de la partícula en E=h*nu.

Bueno, la energía del fotón es simplemente hf, así que si puedes determinar la energía de un solo fotón, puedes determinar su frecuencia. Una forma de determinar la energía de un fotón; suponiendo que puede generar un fotón a la vez, todos con la misma energía, sería usar el efecto fotoeléctrico, con materiales de fotocátodo de banda prohibida ajustable en un PMT, que puede detectar fotones individuales. Los fotocátodos de banda prohibida variable se pueden fabricar en rangos limitados de compuestos ternarios o cuaternarios III-V, como GaAsP o InGaAsP. Los cátodos de banda prohibida más pequeños emitirán un fotoelectrón; los de banda prohibida más altos no lo harán.

Ahora, usted no dijo que quería conocer una forma práctica de hacerlo, pero si necesita fotones individuales de frecuencia y polarización conocidas, hacer los PMT no debería ser un problema para usted.