¿Cómo justificar el valor máximo del campo magnético de una estrella en la superficie?

Question

¿Cómo justificar el valor máximo del campo magnético de una estrella en la superficie?

Física
astrofísica
enanas blancas
estrellas de neutrones
campos magnéticos
gravedad newtoniana

Cham

En muchas conferencias, se afirma que el valor máximo $B_{\text{max}}$ del campo magnético en la superficie de una estrella se puede encontrar en la teoría de la gravitación de Newton al equiparar la energía potencial gravitatoria con la energía del campo magnético. Para una esfera de masa $M$ y radio $R$ , de densidad uniforme y magnetizado uniformemente :

\begin{matrix} (1) & | {tu}_{gravedad} | = \frac{3 GRAMO {METRO}^{2}}{5 R} = {mi}_{magn} = \frac{m_{0} m^{2}}{4 π R^{3}}, \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{1} |\, U_{\text{grav}}| = \frac{3 G M^2}{5 R} = E_{\text{magn}} = \frac{\mu_0 \, \mu^2}{4 \pi R^3}, \end{equation}$ dónde

μ

$\mu$ es el momento magnético dipolar de la esfera. La parte derecha es la energía total almacenada en el campo magnético de un dipolo:

\begin{aligned} {mi}_{magn} = \int \frac{B^{2}}{2 m_{0}} d^{3} X & = \int_{0}^{R} \frac{B_{En t}^{2}}{2 m_{0}} 4 π r^{2} d r + \int_{R}^{\infty} \frac{B_{extensión}^{2} (r, θ)}{2 m_{0}} r^{2} d r pecado θ d θ d φ \\ (2) & = \frac{m_{0} m^{2}}{4 π R^{3}} . \end{aligned}

$\begin{align} E_{\text{magn}} = \int \frac{B^2}{2 \mu_0} \, d^3 x &= \int_0^R \frac{B_{\text{int}}^2}{2 \mu_0} \, 4 \pi r^2 \, dr + \int_R^{\infty} \frac{B_{\text{ext}}^2(r, \theta)}{2 \mu_0} \, r^2 \, dr \, \sin{\theta} \, d\theta \, d\varphi \\[12pt] &= \frac{\mu_0 \, \mu^2}{4 \pi R^3}. \tag{2} \end{align}$ Dado que la esfera está magnetizada uniformemente en su volumen, el campo magnético interno es una constante:

\begin{matrix} (3) & B_{En t} = \frac{2}{3} m_{0} METRO = \frac{m_{0} m}{2 π R^{3}} \Rightarrow m = \frac{2 π B_{En t} R^{3}}{m_{0}} . \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{3} B_{\text{int}} = \frac{2}{3} \, \mu_0 \, M = \frac{\mu_0 \, \mu}{2 \pi R^3} \quad \Rightarrow \quad \mu = \frac{2 \pi B_{\text{int}} \, R^3}{\mu_0}. \end{equation}$ Sustituyendo este momento magnético en la ec. (1) da la máxima intensidad de campo dentro y en la superficie de la esfera:

\begin{matrix} (4) & B_{int máx.} = \sqrt{\frac{3 m_{0} GRAMO}{5 π}} \frac{METRO}{R^{2}} . \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{4} B_{\text{int max}} = \sqrt{\frac{3 \mu_0 \, G}{5 \pi}} \, \frac{M}{R^2}. \end{equation}$ Así que para una estrella de masa

M = 0.6 M_{⊙}

$M = 0.6 \, M_{\odot}$ y radio

R = 10^{4} k m

$R = 10^4 \, \mathrm{km}$ (una típica enana blanca), esto da

B_{int máx.} \approx 5 \times 10^{7} t mi s yo a = 5 \times 10^{11} gramo a tu s s .

$\begin{equation} B_{\text{int max}} \approx 5 \times 10^7 \, \mathrm{tesla} = 5 \times 10^{11} \, \mathrm{gauss}. \end{equation}$

Pero, ¿cómo podemos justificar la ecuación (1)? ¿Se puede hacer más riguroso? ¿Por qué deberíamos tener $E_{\text{magn}} + U_{\text{grav}} = 0$ para la máxima intensidad de campo?

EDITAR: en el caso de una estrella de neutrones canónica de radio $R \approx 10 \, \mathrm{km}$ y masa $M \approx 1,44 \, M_{\odot}$ , la ecuación (4) da

\begin{matrix} (5) & B_{int máx NS} \approx 10^{14} t mi s yo a = 10^{18} gramo a tu s s, \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{5} B_{\text{int max NS}} \approx 10^{14} \, \mathrm{tesla} = 10^{18} \, \mathrm{gauss}, \end{equation}$ lo cual es bastante excesivo (AFAIK). Los magnetares más fuertes conocidos tienen como máximo un campo de aproximadamente

10^{15} g a u s s

$10^{15} \, \mathrm{gauss}$ . Entonces, ¿hay una forma teórica de reducir el valor (5)?

ProfRob

¡Porque si la energía total fuera mayor que cero, la estrella no estaría unida!

Cham

@RobJeffries, la energía

E_{magn} + U_{grav}

$E_{\text{magn}} + U_{\text{grav}}$ no es la energía total ! Es solo una parte de eso. Puede haber presión de gas dentro de la estrella, presión de Fermi de degeneración, o incluso energía cinética de rotación contribuyendo. Así que no explica por qué

E_{magn} + U_{grav}

$E_{\text{magn}} + U_{\text{grav}}$ debería cancelar.

Cham

¿O es el peor de los casos, en el que la estrella no tiene otra energía interna excepto su propio campo magnético que sostiene todo el peso?

ProfRob

Sí, por supuesto que hay energía interna y eso es positivo. Entonces, el caso que tiene allí es el máximo que podría tener la energía del campo magnético y aún así tener una estrella unida.

Cham

Si es el peor de los casos, la energía total

mi = \frac{m_{0} m^{2}}{4 π R^{3}} - \frac{3 GRAMO {METRO}^{2}}{5 R}

$\begin{equation}E = \frac{\mu_0 \, \mu^2}{4 \pi R^3} - \frac{3 G M^2}{5 R}\end{equation}$ admite un valor mínimo en algunos no triviales

R

$R$ (considerando

μ

$\mu$ como una constante para una estrella dada).

honeste_vivere

@Cham: hay un buen artículo de Rudolf Treumann sobre los campos magnéticos más fuertes del universo (doi 10.3389/fphy.2014.00059 ) que tiene algunas buenas discusiones.

Respuestas (1)

¿Cómo justificar el valor máximo del campo magnético de una estrella en la superficie?

¡Porque si la energía total fuera mayor que cero, la estrella no estaría unida!
@RobJeffries, la energía $E_{\text{magn}} + U_{\text{grav}}$ no es la energía total ! Es solo una parte de eso. Puede haber presión de gas dentro de la estrella, presión de Fermi de degeneración, o incluso energía cinética de rotación contribuyendo. Así que no explica por qué $E_{\text{magn}} + U_{\text{grav}}$ debería cancelar.
¿O es el peor de los casos, en el que la estrella no tiene otra energía interna excepto su propio campo magnético que sostiene todo el peso?
Sí, por supuesto que hay energía interna y eso es positivo. Entonces, el caso que tiene allí es el máximo que podría tener la energía del campo magnético y aún así tener una estrella unida.
Si es el peor de los casos, la energía total $mi = \frac{m_{0} m^{2}}{4 π R^{3}} - \frac{3 GRAMO {METRO}^{2}}{5 R}$ $\begin{equation}E = \frac{\mu_0 \, \mu^2}{4 \pi R^3} - \frac{3 G M^2}{5 R}\end{equation}$ admite un valor mínimo en algunos no triviales $R$ (considerando $\mu$ como una constante para una estrella dada).
@Cham: hay un buen artículo de Rudolf Treumann sobre los campos magnéticos más fuertes del universo (doi 10.3389/fphy.2014.00059 ) que tiene algunas buenas discusiones.

ProfRob · Answer 1

ProfRob

La energía total de una estrella debe ser menor que cero para que sea un objeto ligado gravitacionalmente.

La energía total es la suma de la energía potencial gravitacional negativa (su expresión asume una estrella de densidad uniforme) y los términos positivos debido a la presión del gas, la turbulencia, la rotación y, por supuesto, los campos magnéticos.

La energía magnética máxima se puede encontrar igualando la energía total a cero y haciendo que los otros términos positivos sean cero. Si ellos estan $>0$ (que están en una estrella real) entonces, por supuesto, la energía magnética más grande posible será más pequeña.

Luego, debe decidir cómo desea relacionar eso con el campo magnético y el momento dipolar, ya que la densidad de energía magnética dependerá del tamaño de equilibrio de la estrella, aunque habría pensado que debería hacer $B_{\rm int} R^2$ una constante, porque el flujo magnético a través de la superficie se conserva cuando cambia el tamaño.

Cham

Estoy de acuerdo con esto, pero la energía total (campo magnético + energía gravitatoria) admite un mínimo para algunos no triviales

R

$R$ , si

μ

$\mu$ se considera como una constante. Esto da un valor específico para el campo magnético que es como (4), sin el factor de 3 dentro de la raíz cuadrada.

ProfRob

@cham Su pregunta pide la justificación de un valor máximo. Por supuesto, hay un mínimo global: esa será la configuración de equilibrio para la estrella si la masa y el momento dipolar magnético son fijos pero el radio puede cambiar. Esto le da el radio de una estrella soportada (únicamente) por la densidad de energía magnética.

Cham

Hay algo que no entiendo claramente sobre las variables y las constantes . Es

μ

$\mu$ una constante, si el radio

R

$R$ cambios ? o es

B_{int} \propto μ / R^{3}

$B_{\text{int}} \propto \mu/R^3$ una constante ? ¿O qué más?

ProfRob

@cham No lo sé, ¡es tu pregunta! Mi respuesta en términos de consideraciones energéticas no depende de lo que considere fijo o variable. Es cierto en general, aunque necesito hacer una pequeña edición para que sea correcto.

Cham

¡Ahaa! Su edición es un punto crucial, en realidad. Entonces, ¿estás de acuerdo en que

B_{int máx.} = \sqrt{\frac{3 m_{0} GRAMO}{5 π}} \frac{METRO}{R^{2}} ?

$\begin{equation}B_{\text{int max}} = \sqrt{\frac{3 \mu_0 \, G}{5 \pi}} \, \frac{M}{R^2} ? \end{equation}$ Entonces, ¿qué podríamos decir acerca de

R

$R$ ? Creo que mi confusión viene de aquí.

ProfRob

@cham Has asumido un valor para

R

$R$ , pero si realmente quisiera el campo magnético máximo, tendría que resolver de manera consistente para

M (R)

$M(R)$ en lugar de asumir un valor. creo que puedes decir

B_{i n t} R^{2} \leq (3 μ_{0} G / 5 π)^{1 / 2} M

$B_{\rm int} R^2 \leq (3\mu_0G/5\pi)^{1/2}M$ .

Cham

Está bien, creo que lo tengo (lo siento si soy denso aquí). Si quiero una estrella de ESE peso y ESE tamaño (entonces

M

$M$ y

R

$R$ son algunas constantes fijas ), respaldadas solo por un campo magnético dipolar, entonces NO NECESITO MÁS que ESTO

B_{int max} (M, R)

$B_{\text{int max}}(M, R)$ campo dentro de la estrella. Esto da el campo crítico . Si

B_{int} < B_{int max} (M, R)

$B_{\text{int}} < B_{\text{int max}}(M, R)$ , entonces la gravedad aplastará la estrella hasta que alcance un valor de equilibrio en algún

R_{0} < R

$R_0 < R$ . El final resulto (

R_{0} \neq 0

$R_0 \ne 0$ o

R_{0} = 0

$R_0 = 0$ ) depende de la restricción que impongo a mi estrella:

μ

$\mu$ es fijo o

B_{int}

$B_{\text{int}}$ es fijo, o algo más.

ProfRob

Si solo se considera el soporte del campo magnético, la estrella solo puede ser subcrítica o supercrítica. La relación entre el flujo magnético y la masa es una constante de cualquier colapso y el campo B nunca aumentará lo suficiente como para sostener la estrella en un radio más pequeño. es decir, la energía potencial gravitacional y la energía magnética son idénticas

\propto R^{- 1}

$\propto R^{-1}$ porque

B R^{2}

$BR^2$ es una constante

Cham

¿Estás asumiendo la conservación del flujo magnético?

¿Cómo justificar el valor máximo del campo magnético de una estrella en la superficie?

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honeste_vivere

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