Decaimiento magnético versus frenado de rotación de estrellas de neutrones

Question

Decaimiento magnético versus frenado de rotación de estrellas de neutrones

Cham

Un púlsar canónico se puede describir como una bola de masa $M \approx 1,44 \, M_{\odot}$ y radio $R \approx 10 \, \mathrm{km}$ , rotando con un período de aproximadamente $P \approx 5 \, \mathrm{ms}$ . También tiene un campo magnético típico de alrededor $B_{\text{pole}} \sim 10^{6} \, \mathrm{tesla} = 10^{10} \, \mathrm{gauss}$ (apenas). El campo se puede aproximar como un campo magnético dipolar . Debido a la emisión de radiación electromagnética dipolar, el púlsar pierde algo de energía, reduciendo así su velocidad angular. $\omega \equiv 2 \pi / P$ (y tal vez su campo magnético polar):

\begin{matrix} (1) & \frac{d {mi}_{radical}}{d t} = - \frac{m_{0} m^{2} ω^{4}}{6 π C^{3}} {pecado}^{2} α, \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{1} \frac{dE_{\text{rad}}}{dt} = -\, \frac{\mu_0 \, \mu^2 \, \omega^4}{6 \pi c^3} \, \sin^2 {\alpha}, \end{equation}$ dónde

μ

$\mu$ es el momento magnético de la estrella, y

α

$\alpha$ es el ángulo de inclinación con respecto al eje de rotación. El campo magnético en los polos tiene esta intensidad:

\begin{matrix} (2) & B_{polo} = \frac{m_{0} m}{2 π R^{3}}, \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{2} B_{\text{pole}} = \frac{\mu_0 \, \mu}{2 \pi R^3}, \end{equation}$ dónde

R

$R$ es el radio (que se supone constante) de la estrella. La energía cinética de rotación y la energía magnética almacenada en el campo magnético dipolar (asumiendo que el campo interno es uniforme) se pueden sumar:

\begin{matrix} (3) & k_{putrefacción} + {tu}_{magn} = \frac{1}{2} I ω^{2} + \frac{m_{0} m^{2}}{4 π R^{3}}, \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{3} K_{\text{rot}} + U_{\text{magn}} = \frac{1}{2} \, I \, \omega^2 + \frac{\mu_0 \, \mu^2}{4 \pi R^3}, \end{equation}$ dónde

I \approx \frac{2}{5} M R^{2}

$I \approx \frac{2}{5} \, M R^2$ es el momento de inercia de la estrella.

La derivada temporal de (3) debe ser igual a la potencia perdida (1):

\begin{matrix} (4) & \frac{d mi}{d t} = I ω \dot{ω} + \frac{m_{0} m \dot{m}}{2 π R^{3}} = - \frac{m_{0} m^{2} ω^{4}}{6 π C^{3}} {pecado}^{2} α . \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{4} \frac{dE}{dt} = I \, \omega \, \dot{\omega} + \frac{\mu_0 \, \mu \, \dot{\mu}}{2 \pi R^3} = -\, \frac{\mu_0 \, \mu^2 \, \omega^4}{6 \pi c^3} \, \sin^2 {\alpha}. \end{equation}$

Ahora el problema es el siguiente. Por lo general, se supone que la estrella se ralentizará por la emisión electromagnética, por lo que $\dot{\omega} \ne 0$ . En todos los libros de texto y conferencias que he visto, la energía magnética no se agrega en (3)-(4). Sin embargo, se sabe que la intensidad del campo magnético también puede estar evolucionando (es decir, decayendo) con el tiempo. Si descuido la disminución de la frecuencia de rotación (es decir, considero $\omega = \text{constant}$ ), obtengo esto de (4):

\begin{matrix} (5) & \dot{m} = - (\frac{ω^{4} R^{3}}{3 C^{3}} {pecado}^{2} α) m \equiv - λ m . \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{5} \dot{\mu} = -\, \Big( \frac{\omega^4 \, R^3}{3 c^3} \, \sin^2 {\alpha} \Big) \mu \equiv -\, \lambda \, \mu. \end{equation}$ Esta es una ecuación diferencial lineal, de solución

μ (t) = μ (0) e^{- λ t}

$\mu(t) = \mu(0) \, e^{- \lambda \, t}$ . Por lo tanto, el campo magnético polar (2) decae exponencialmente con el tiempo. Para nuestro púlsar canónico, esto da una vida media de aproximadamente

22.5 s

$22.5 \, \mathrm{s}$ porque el campo decae, si

α = 90^{\circ}

$\alpha = 90^{\circ}$ .

¿Cómo podemos justificar que este modo de decaimiento es insignificante en relación con el decaimiento de rotación? Es decir, ¿cómo podemos justificar que $\dot{\mu} \approx 0$ mientras $\dot{\omega} \ne 0$ ?

EDIT 1: Si asumimos $\dot{\mu} = 0$ , la ecuación (4) da otra ecuación diferencial para $\omega(t)$ . Da esta solución, que no es exponencial:

\begin{matrix} (6) & PAG (t) = {PAG}_{0} \sqrt{1 + k t}, \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{6} P(t) = P_0 \sqrt{1 + \kappa \, t}, \end{equation}$ dónde

κ

$\kappa$ es una constante complicada:

\begin{matrix} (7) & k = \frac{4 π m_{0} m^{2} {pecado}^{2} α}{3 I C^{3} {PAG}_{0}^{2}} = \frac{5 (2 π)^{3}}{3 m_{0} C^{3}} \frac{B_{polo}^{2} R^{4}}{METRO {PAG}_{0}^{2}} {pecado}^{2} α . \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{7} \kappa = \frac{4 \pi \mu_0 \, \mu^2 \sin^2 {\alpha}}{3 I c^3 \, P_0^2} = \frac{5 (2 \pi)^3}{3 \mu_0 \, c^3} \, \frac{B_{\text{pole}}^2 \, R^4}{M P_0^2} \sin^2 {\alpha}. \end{equation}$ Según (6), la constante

τ = κ^{- 1}

$\tau = \kappa^{-1}$ es el tiempo característico de evolución del período. Para nuestro púlsar canónico definido al principio, con

α = 90^{\circ}

$\alpha = 90^{\circ}$ y

B_{pole} \approx 10^{6} t e s l a

$B_{\text{pole}} \approx 10^6 \, \mathrm{tesla}$ , (7) da esta duración de tiempo:

τ \approx 5.87 \times 10^{14} s \sim 18,6 millones de años .

$\begin{equation} \tau \approx 5.87 \times 10^{14} \, \mathrm{s} \sim \text{18.6 millions years}. \end{equation}$ Este es el modelo generalmente considerado para un púlsar en ruptura. Pero creo que el escenario (5) también es válido por derecho propio y debe ser considerado como una posibilidad.

Cham

Consideré el radio

R

$R$ como una constante Curiosamente, si imponemos la conservación del flujo magnético a través del plano ecuatorial de la estrella:

Φ = B_{En t} π R^{2} = \frac{m_{0} m}{2 R} = constante,

$\begin{equation} \Phi = B_{\text{int}} \, \pi R^2 = \frac{\mu_0 \, \mu}{2 R} = \text{constant}, \end{equation}$ entonces

\dot{μ} R = μ \dot{R}

$\dot{\mu} \, R = \mu \, \dot{R}$ y la derivada temporal de (3) da otra ecuación diferencial. Si

\dot{ω} = 0

$\dot{\omega} = 0$ , la ecuación no puede dar

μ (t)

$\mu(t)$ explícitamente, pero puede dar tiempo

t (μ)

$t(\mu)$ o

t (B_{pole})

$t(B_{\text{pole}})$ en cambio. No estoy seguro de que esto sea relevante. ¿Alguna idea sobre esto?

Respuestas (2)

Decaimiento magnético versus frenado de rotación de estrellas de neutrones

Consideré el radio $R$ como una constante Curiosamente, si imponemos la conservación del flujo magnético a través del plano ecuatorial de la estrella: $Φ = B_{En t} π R^{2} = \frac{m_{0} m}{2 R} = constante,$ $\begin{equation} \Phi = B_{\text{int}} \, \pi R^2 = \frac{\mu_0 \, \mu}{2 R} = \text{constant}, \end{equation}$ entonces $\dot{\mu} \, R = \mu \, \dot{R}$ y la derivada temporal de (3) da otra ecuación diferencial. Si $\dot{\omega} = 0$ , la ecuación no puede dar $\mu(t)$ explícitamente, pero puede dar tiempo $t(\mu)$ o $t(B_{\text{pole}})$ en cambio. No estoy seguro de que esto sea relevante. ¿Alguna idea sobre esto?

Tomás · Answer 1

El momento dipolar magnético dependiente del tiempo es impulsado por la rotación de la estrella, por lo que es natural que la rotación proporcione la energía que se convierte en radiación. (Puede verificar esto calculando el par). De hecho, la energía en el campo magnético es demasiado pequeña para impulsar la emisión.

El campo B, por otro lado, no puede simplemente desaparecer (las líneas de campo magnético en MHD ideal no pueden simplemente desaparecer). El campo B decae por difusión óhmica

\frac{\partial B}{\partial t} = \frac{C^{2}}{4 π σ} \nabla^{2} B

$\frac{\partial B}{\partial t} = \frac{c^2}{4\pi\sigma}\nabla^2 B$ Esto da un tiempo de decaimiento

τ = \frac{4 π σ}{C^{2}} \frac{R^{2}}{π^{2}}

$\tau = \frac{4\pi\sigma}{c^2}\frac{R^2}{\pi^2}$ Usando

R = 10

$R=10$ kilómetros y

σ = 6 \cdot 10^{22}

$\sigma=6\cdot 10^{22}$

s^{- 1}

$s^{-1}$ (estas son las unidades cgs de conductividad) G. Baym, C. Pethick y D. Pines, Nature, 224, 673, (1969) obtienen

τ = 4 \cdot 10^{6}

$\tau=4\cdot 10^6$ año, varios millones de años.

Posdata: una revisión útil es Petri, https://arxiv.org/abs/1608.04895v1 . Entre muchas otras cosas, el autor proporciona estimaciones de las energías involucradas. Para un púlsar de milisegundos, la energía gravitacional es $2.6 \cdot 10^{46}$ J, la energía de rotación es $3.2 \cdot 10^{45}$ J, la energía magnética es $1.6 \cdot 10^{28}$ J, y la energía térmica es $3.4 \cdot 10^{40}$ j

De acuerdo con las ecuaciones (6) y (7), la ruptura de rotación también está en una escala de tiempo de millones de años. ¿Y cómo se sabe que la energía del campo magnético es demasiado pequeña?
Como notará, solo la conservación de energía no es suficiente para decirle qué está impulsando la emisión. Podría ser energía de enlace rotacional, térmica, magnética o incluso gravitatoria. También nota que si asume que es energía de campo magnético, obtiene un decaimiento muy rápido del campo, que es una forma de ver que hay mucha menos energía en el campo que en la rotación.
.. por lo que, en última instancia, necesitamos conocer el mecanismo físico para cambiar la energía de rotación, la energía térmica y la energía del campo magnético. La energía rotacional cambia por la ruptura magnética, la energía térmica por la emisión de neutrinos (y en los últimos tiempos de fotones) y los campos magnéticos cambian por la disipación óhmica.
Entonces, para la esfera magnetizada uniformemente, ¿cómo transformas tu ecuación de disipación óhmica? El laplaciano del campo uniforme interno y el campo dipolar externo es 0, lo que implica $\dot{\mu} = 0$ . ¿Cómo se define el decaimiento magnético para una esfera magnetizada uniformemente?
Las estrellas de neutrones reales son más complicadas. Están rodeados por un plasma conductor, llamado magnetosfera. Además, el dipolo magnético no puede girar rígidamente, porque las líneas de campo tendrían que moverse más rápido que la velocidad de la luz más allá de cierta distancia de la estrella (así que las líneas de campo más allá de cierto radio no regresan a la estrella sino que se separan). Esto significa que los resultados realistas para el decaimiento del campo B requieren cálculos MHD completos.
Sin embargo, obtienes el orden de magnitud correcto cuando tomas la ecuación de difusión escrita arriba y asumes que B varía sobre una distancia R, donde R es el radio del NS. Esta es la antigua estimación de Baym et al.
Por favor, ¿podría ser más específico sobre la estimación anterior? Estoy interesado en esto. Le sugiero que lo agregue a su respuesta. Además, el campo magnético puede girar más rápido que la velocidad de la luz. ¡No son materiales! El rotador de dipolo magnético rígido existe como una solución analítica completa a las ecuaciones de Maxwell, con radiación. No es muy conocido, pero Jackson da brevemente la solución. La potencia irradiada por el rotador dipolar es exactamente la del (1) anterior, y las líneas de campo están muy distorsionadas más allá del "cilindro de luz" para convertirse en el campo de radiación.
Solo para enfatizar el hecho de que todas las líneas de campo (eléctricas, magnéticas y de Poyting) giran rígidamente con el dipolo en la solución de la que hablé en mi comentario anterior. No hay conflicto con la relatividad especial, ya que las líneas no están hechas de materia. Y es una solución exacta a la ecuación de Maxwell.
@Cham Agregué la estimación anterior (tomada directamente del artículo de Baym et al) y algunas estimaciones numéricas de las energías relevantes. Tenga en cuenta que la energía del campo magnético es, de hecho, varios órdenes de magnitud inferior.
Un campo de dipolo magnético que gira rígidamente a lo largo de un eje que no es el eje de simetría del campo no es una solución de la ecuación de Maxwell. Para ver una solución real, consulte la Fig. 7 de arxiv.org/abs/1608.04895v1 . Las líneas de campo dentro del cilindro de luz (la superficie donde un observador co-rotante alcanza c) se cierran, las líneas más allá se separan.
no estoy de acuerdo Conozco la solución analítica exacta del campo electromagnético (con radiación) de un dipolo magnético puntual que gira rígidamente. Puedo mostrártelo si quieres, pero es un poco complejo. Incluso dibujé todas las líneas de campo (magnéticas, eléctricas y de Poynting) para ver cómo se ven y por qué giran rígidamente. El eje magnético no es paralelo al eje de rotación.
Aquí hay una imagen que hice con todas las ecuaciones relevantes para el dipolo rotatorio rígido inclinado con radiación. Es una solución exacta a las ecuaciones de Maxwell en el vacío. por convención, $c$ y $\mu_0/4 \pi$ se absorben en las definiciones de campo. He mostrado con rojo las partes más importantes. hostingpics.net/viewer.php?id=954799Maxwell.jpg Fue una sorpresa para mí que las líneas de campo pudieran rotar rígidamente , pero después del análisis, está claro por qué pueden hacer esto. Recuerde que las líneas de campo son irrelevantes, por lo que no hay conflicto con la relatividad.
Eso es interesante (pero parece un poco más complicado que solo un dipolo magnético giratorio). Hay soluciones analíticas en la literatura. Petri describe una solución encontrada por Deutsch, consultearticles.adsabs.harvard.edu//full/1955AnAp...18....1D/… . Esta solución parece comportarse de la manera que pensaba, las líneas de campo están abiertas más allá de cierta distancia, vea la Fig. 4 de Petri.
Las líneas del campo magnético no pueden abrirse, incluso después del cilindro de luz, debido a $\nabla \cdot \vec{B} = 0$ . Todas las líneas de campo magnético son bucles cerrados, incluso si están muy estiradas. Las líneas que dibujé son exactamente como en el primer artículo que citó (vea las páginas 11 y 32). Os muestro las figuras que he hecho con ese campo. Estoy de acuerdo en que un campo de dipolo estático no puede girar rígidamente sin radiación y permanecer igual que uno que no gira. ¡Pero si gira un dipolo magnético, obtendrá líneas de campo distorsionadas con campos eléctricos inducidos y de Poynting que giran rígidamente !
Aquí hay una imagen de las líneas de campo magnético de un dipolo giratorio estacionario, que hice yo mismo hace algunos años. La primera figura es muy similar (idéntica) a las de su primer artículo (páginas 11 y 32): hostingpics.net/viewer.php?id=426065field.jpg Las primeras tres imágenes son un rotador ortogonal ( $\alpha = 90^{\circ}$ ). La segunda imagen muestra los puntos de campo eléctrico mínimo y máximo, en el plano ecuatorial. La tercera imagen muestra las "últimas" líneas de campo magnético dentro del cilindro de luz (en verde), en el plano ecuatorial. la ultima foto es para $\alpha = 40^{\circ}$ .
Se ve bien. Me parece que más allá del cilindro de luz, las líneas del campo B no pueden seguir el ritmo de la estrella giratoria (porque forman un frente de onda), y deben salir en espiral mientras se retrasan cada vez más. ¿No es ese el caso?
Sí, estoy de acuerdo con esa interpretación. Pero todavía se mueven más rápido que $c$ , ya que todas las líneas se mueven rígidamente, como un sólido. Aquí hay algunas líneas del campo de Poynting , proyectadas en el plano ecuatorial del rotador ortogonal ( $\alpha = 90^{\circ}$ ). El círculo verde es el cilindro de luz. Las líneas de campo curvas se vuelven líneas radiales con la distancia, como deberían (flujo de radiación EM): hostingpics.net/viewer.php?id=825726Poyting.jpg

Cham · Answer 2

Es posible que haya encontrado una solución/interpretación adecuada de mi consulta. Cuando consideramos un dipolo magnético giratorio, se demuestra que la emisión de radiación implica estas dos ecuaciones (se pueden encontrar en muchos libros de texto):

\begin{aligned} (1) & \frac{d mi}{d t} & = - \frac{m_{0} m^{2} ω^{4}}{6 π C^{3}} {pecado}^{2} α, \\ (2) & \frac{d \vec{L}}{d t} & = - \frac{m_{0} m^{2} ω^{3}}{6 π C^{3}} {pecado}^{2} α \vec{norte}, \end{aligned}

$\begin{align} \frac{dE}{dt} &= -\, \frac{\mu_0 \, \mu^2 \omega^4}{6 \pi c^3} \, \sin^2{\alpha}, \tag{1} \\[12pt] \frac{d\vec{\boldsymbol{\mathrm{L}}}}{dt} &= -\, \frac{\mu_0 \, \mu^2 \omega^3}{6\pi c^3} \, \sin^2 \alpha \; \vec{\boldsymbol{\mathrm{n}}}, \tag{2} \end{align}$ donde el vector unitario

\vec{n}

$\vec{\boldsymbol{\mathrm{n}}}$ es el eje de rotación fijo . Ahora, es muy importante recordar que

E

$E$ y

\vec{L}

$\vec{\boldsymbol{\mathrm{L}}}$ NO son la energía mecánica y el momento angular mecánico del dipolo giratorio. Son la energía total y el momento angular del sistema dipolo.

+

$+$ campo electromagnético :

\begin{aligned} (3) & mi & = {mi}_{mec} + {mi}_{campo}, \\ (4) & \vec{L} & = {\vec{L}}_{mec} + {\vec{L}}_{campo} . \end{aligned}

$\begin{align} E &= E_{\text{mec}} + E_{\text{field}}, \tag{3} \\[12pt] \vec{\boldsymbol{\mathrm{L}}} &= \vec{\boldsymbol{\mathrm{L}}}_{\text{mec}} + \vec{\boldsymbol{\mathrm{L}}}_{\text{field}}. \tag{4} \end{align}$ En nuestro caso :

\begin{aligned} (5) & mi & = \frac{1}{2} I ω^{2} + \frac{m_{0} m^{2}}{4 π R^{3}}, \\ (6) & \vec{L} & = I ω \vec{norte} + {\vec{L}}_{campo} . \end{aligned}

$\begin{align} E &= \frac{1}{2} \, I \, \omega^2 + \frac{\mu_0 \, \mu^2}{4 \pi R^3}, \tag{5} \\[12pt] \vec{\boldsymbol{\mathrm{L}}} &= I \, \omega \: \vec{\boldsymbol{\mathrm{n}}} + \vec{\boldsymbol{\mathrm{L}}}_{\text{field}}. \tag{6} \end{align}$ De acuerdo con la ecuación (2), la emisión de radiación produce un par en el sistema , por lo que el momento angular total varía con el tiempo. ¡Esto no significa que el dipolo deba reducir su velocidad! Es muy posible que tengamos un dipolo girando constantemente a una velocidad constante.

ω

$\omega$ :

\dot{ω} = 0

$\dot{\omega} = 0$ , pero entonces el momento angular del campo debe disminuir, lo que implica una variación temporal del momento magnético

μ

$\mu$ :

\dot{μ} \neq 0

$\dot{\mu} \ne 0$ . También podríamos tener una constante

μ

$\mu$ :

\dot{μ} = 0

$\dot{\mu} = 0$ , pero entonces el dipolo debe disminuir la velocidad:

\dot{ω} \neq 0

$\dot{\omega} \ne 0$ . Podríamos tener una combinación de ambos.

El momento magnético "interno" $\mu$ puede cambiar por alguna razón interna, y la función $\mu(t)$ puede ser cualquier cosa (dependiendo de lo que suceda dentro del dipolo). Suponiendo que un decaimiento exponencial parece razonable: $\mu(t) = \mu(0) \, e^{-\, \lambda \, t}$ (o $\dot{\mu} = -\, \lambda \, \mu$ ), donde la constante $\lambda$ es arbitrario Entonces, la ecuación (4) de mi pregunta es perfectamente válida y puede resolverse analíticamente para dar la velocidad angular $\omega(t)$ (la solución es un poco complicada y no la mostraré aquí).

Dependiendo del valor de $\lambda$ , podemos tener todo tipo de comportamientos para la rotación del dipolo. Incluso puede acelerar si $\mu$ disminuye lo suficientemente rápido, tan pronto como la velocidad angular inicial no es 0: $\omega(0) \ne 0$ !

No estoy seguro de entender tu punto. La energía total y el momento angular obviamente se conservan, $dE/dt=0$ , $dL/dt=0$ . Podría intentar dividir la parte del campo en un campo "estático", que co-rota con la estrella, y un campo de radiación que se lleva la energía y el momento angular.
No, la energía total y el momento angular no se conservan, hay emisión de radiación al infinito. La conservación se aplica solo a sistemas aislados (o cerrados), lo cual no es el caso aquí. Esta es exactamente la esencia del teorema de Poynting: $\frac{d mi}{d t} = \oint_{S} \vec{S} \cdot d \vec{A} = potencia de pérdida de energía electromagnética hasta el infinito,$ $\begin{equation} \frac{dE}{dt} = \oint_{\mathcal{S}} \vec{\boldsymbol{\mathrm{S}}} \cdot d\vec{\boldsymbol{\mathrm{A}}} = \text{power of electromagnetic energy loss to infinity,}\end{equation}$ dónde $E = E_{\text{mec}} + \int_{\mathcal{V}} u_{EM} \, d^3 x$ es la energía total (mecánica y electromagnética) del sistema que emite la radiación.
¿No es eso lo que dije? ¿Tiene que dividir el campo en estático (dentro del cilindro de luz) y radiación (fuera)?
Volviendo a la pregunta original: todavía tenemos que averiguar qué determina la evolución del espín del púlsar y el campo magnético. ¿Qué tiene de malo la historia estándar (repetida en mi respuesta), de que el giro evoluciona porque la energía de rotación impulsa la emisión y el campo magnético evoluciona por difusión?
No hay nada malo con esa teoría. Es solo un escenario entre varios otros, que también son interesantes. La difusión magnética que describiste es equivalente a un momento magnético que decae exponencialmente: $\mu(t) = \mu(0) \, e^{-\, \lambda \, t}$ , que también puede acelerar el giro, para algunos valores de $\lambda$ (parámetro de caída de difusión) ! También noté que podemos definir un elipsoide achatado inclinado (el campo magnético dipolar puede distorsionar un poco la fuente), lo que hará que el parámetro del ángulo de inclinación $\alpha$ para disminuir también con el tiempo.

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