¿Cómo interactúa el efecto Doppler relativista con la dilatación del tiempo?

Tienes razón en que hay dos efectos en juego aquí.

En primer lugar, supongamos que apagamos la relatividad --- supongamos que consideramos que nuestro universo es newtoniano, con una velocidad finita de propagación de la luz. De hecho, sería el caso de que si un observador A se moviera en relación con otro observador B y emitiera una señal de luz hacia B, entonces la velocidad a la que la señal llega a B sería diferente a la que fue emitida. Este es el viejo y simple efecto Doppler, igual que el efecto que se experimenta al escuchar una ambulancia que se acerca o se aleja de usted. Si la señal emitida por A fuera la luz de la esfera de su reloj, entonces, de hecho, el observador B vería el tictac del reloj a un ritmo diferente.

Pero, ¿lo vería funcionar más rápido o más lento? Ahora, eso depende de si el observador A se acercaba o se alejaba del observador B. Si A se moviera hacia B, B vería el tictac del reloj más rápido, al igual que escuchas la sirena de la ambulancia en un tono más alto si se está moviendo hacia ti. Del mismo modo, si A se estuviera alejando de B, B vería el tictac del reloj más lento, al igual que escuchas la sirena de la ambulancia en un tono más bajo si se está alejando de ti. Por supuesto, para velocidades pequeñas comparadas con la velocidad de la luz, este efecto sería muy pequeño.

Ahora supongamos que activamos la relatividad. Entra en juego un nuevo efecto --- uno mucho más profundo y extraño. El fenómeno (relativista) de la dilatación del tiempo implicaría que, según B, el reloj del observador A corre intrínsecamente más lento. No es que simplemente vea que el reloj avanza más lentamente, es que el tiempo mismo se ha ralentizado a bordo de la nave espacial de A, según B. Lo que esto significa es que si B tuviera que medir la velocidad de llegada de las señales de A y luego hacer algunas matemáticas para deshacer el efecto Doppler, de modo que la cantidad resultante obtenida fuera la tasa de emisión de la señal, encontraría que la tasa es menor que la que A diría que emitió la señal. Lo cual es bastante loco.

Entonces, ¿qué es el efecto combinado? Bueno, podemos ver de inmediato que no se cancelarán en todos los casos al considerar que el observador A se está alejando del observador B. Luego, la dilatación del tiempo y el efecto Doppler se combinan , de modo que el observador B ve que el reloj a bordo del barco de A funciona particularmente lento. . La fórmula correcta (no daré una derivación aquí, pero puede encontrar muchas en la web, por ejemplo, en Wikipedia ) resulta, de hecho, ser

dónde$f_E$es la frecuencia emitida y$f_O$la frecuencia observada. Para todas las velocidades positivas, que en este caso corresponde al observador A alejándose del observador B, la parte superior de la fracción es menor que la parte inferior, por lo que la frecuencia observada es menor que la frecuencia emitida. Asimismo, para todas las velocidades negativas, que en este caso corresponde al observador A moviéndose hacia el observador B, la parte superior de la fracción es mayor que la parte inferior, por lo que la frecuencia observada es mayor que la frecuencia emitida.

Entonces, cualitativamente, los dos efectos combinados no son diferentes del efecto Doppler por sí mismo. La única circunstancia bajo la cual los dos efectos se 'cancelan' es cuando la velocidad relativa de los observadores es cero, y en ese caso los dos efectos son individualmente cero. Mientras que el efecto Doppler produce un aumento de la tasa de$\beta < 0$y una tasa reducida para$\beta >0$, el fenómeno de la dilatación del tiempo actúa siempre para ralentizar la velocidad. Entonces sucede que, sin elegir la velocidad relativa, la dilatación del tiempo puede ralentizar la frecuencia lo suficiente como para contrarrestar un aumento de la frecuencia debido al efecto Doppler.

He trazado la raíz cuadrada en la fórmula anterior a continuación:

Es de esperar que pueda ver que esta función siempre es mayor que 1 para$\beta$menor que cero, y siempre menor que 1 para$\beta$mayor que cero. ¡Espero que esto ayude!