¿Cómo es compatible la primera ley de Newton con las ecuaciones de transporte?

Para tener un flujo (constante, distinto de cero), no necesita ninguna fuerza o un equilibrio de fuerzas. Las situaciones que normalmente se discuten aquí son donde hay fricción o una fuerza similar a la fricción, que actúa para oponerse al movimiento (y, por lo tanto, al flujo). En este caso, necesitarías alguna otra fuerza, como el resultado de un gradiente, para vencer la fricción. Los coeficientes a menudo se nombran con nombres como 'conductividad', que es un buen nombre, pero el nombre puede hacer que los desprevenidos olviden el hecho de que es un efecto similar a la fricción.

La fricción o resistividad generalizada es inversamente proporcional a la conductividad generalizada. Entonces, si no hay fricción, como en el caso de la situación idealizada discutida en la primera ley de Newton, entonces la 'conductividad' es infinita.

En física clásica creo que sería correcto decir que uno 'siempre' necesita algún tipo de gradiente para tener un flujo, si uno está diciendo que la idealización de ninguna fricción es solo eso: una idealización. Por ejemplo, la idea de Newton de un cuerpo que se mueve en el espacio vacío es una idealización en el sentido de que el espacio nunca está completamente vacío (ninguna bomba de vacío producirá un vacío perfecto). Pero en fenómenos como la superconductividad y la superfluidez, puede haber una corriente persistente que nunca se amortigua. Y corrientes de este tipo también se pueden encontrar dentro de la estructura electrónica de cada átomo.

Me resulta difícil dar en palabras una respuesta a su pregunta.

Para su ejemplo de una barra en movimiento, ha asumido que no hay fuerzas que se opongan al movimiento de la barra (por ejemplo, fricción) y, por lo tanto, la "constante fenomenológica" en su ejemplo es infinita.
Por lo tanto, no se requiere diferencia de presión (fuerza) para transportar la masa de la misma manera que no se requiere diferencia de potencial para transportar electrones (corriente eléctrica) en un superconductor.

Se supone que los flujos en su ecuación son relativos a un observador que viaja con la velocidad media (ver Fenómenos de transporte, Bird et al). Entonces, para su barra que se mueve a una velocidad axial constante v en la dirección x, el flujo total de calor es

Puede, en el caso de la varilla, encontrar un marco de referencia donde ninguna masa pase por el área. No hay fuerza tirando de las partículas a través de la superficie. La concentración de partículas en su barra es constante sobre la barra. El gradiente es cero. No hay movimiento neto en el marco de reposo de la varilla.

Si observa las leyes de Fick , puede agregar el desplazamiento de masa adicional inducido por todo el sistema en movimiento. En cada cuadro hay un gradiente que no está influenciado por una velocidad global. La "fuerza" del gradiente es absoluta. Presente en cada fotograma. Si compara las situaciones del marco de reposo, para la barra y su sistema de gradiente de concentración, verá que no hay nada malo.

TL; DR: movimiento microscópico frente a macroscópico

La diferencia aquí es similar a la diferencia entre calor y trabajo : uno representa la transferencia de energía a nivel microscópico, mientras que el otro es el movimiento macroscópico de las mismas moléculas como un todo. Otro par microscópico/macroscópico común es la difusión y la convección, cuando hablamos de transferencia de masa. De manera similar, se podrían encontrar pares apropiados para cualquiera de los fenómenos de transporte en la tabla, dada en el OP.

El movimiento microscópico no rompe las leyes de Newton, pero estas leyes deben aplicarse a nivel molecular, teniendo en cuenta la interacción entre las moléculas. El ejemplo de la barra en movimiento, por otro lado, es un movimiento macroscópico de las moléculas de la barra juntas, caracterizado por el movimiento del centro de masa.

Otro punto importante es que las leyes termodinámicas generalmente se derivan y discuten en el sistema de referencia donde el cuerpo no se mueve ni gira; no excluyen el movimiento del cuerpo (por ejemplo, un depósito de gas) como un todo, lo que ocurriría en de acuerdo con las leyes de Newton.

Entonces, la conclusión aquí (al menos lo que dice mi maestro) es que no puede haber un flujo de cualquier cantidad sin un gradiente de algún tipo (una fuerza impulsora) y viceversa.

Esta conclusión es correcta y no veo cómo debería interferir con las leyes de Newton. Me abstendría de llamarlo una fuerza impulsora porque podría ser una analogía, pero quizás no la mejor.

Imagina que en tu experimento mental con la varilla colocas una caja grande alrededor del problema con un divisor en el medio. Tu vara está en el lado izquierdo, el lado derecho está vacío. Hay un gradiente de concentración (1 y 0 varillas) y cuando la varilla viaja a través del divisor se le puede asignar un flujo a este fenómeno de transporte.

Ahora, este flujo será discreto, pero sin cambiar nada más que el número de partículas, terminará con el experimento de difusión clásico. Cada partícula no será acelerada por ninguna fuerza, solo las colisiones elásticas con las paredes y otras partículas son suficientes para modelar el proceso.