¿Cómo encuentro las ecuaciones actuales para el circuito de la serie RLC?

Hablemos de un circuito en serie RLC. R, L y C están en serie con una batería y un interruptor. El interruptor está abierto. L y C están descargados.

En t=0, el interruptor se cierra y la batería (V1) alimenta el circuito.

Para encontrar la ecuación para el voltaje a través del capacitor, aplico KVL al circuito y obtengo esto:

V 1 ( t ) = R i + L d i d t + V C ( t )

esto luego se convierte en esto:

V 1 L C = d 2 V C ( t ) d t 2 + R L d V C ( t ) d t + 1 L C V C ( t )

Después de unas horas o de derretirse el cerebro, obtengo el resultado final de la ecuación de voltaje a través del capacitor.

AMORTIGUACIÓN CRÍTICA

V C ( t ) = ( A t + B ) mi − α t

SOBREAMORTIGUADO

V C ( t ) = A mi metro 1 t + B mi metro 2 t

SUBAMORTIGUADO

V C ( t ) = mi − α t [ k 1 C o s ( ω d t ) + k 2 S i norte ( ω d t ) ]

La pregunta ahora es: ¿cómo encuentro las ecuaciones actuales para los tres casos?

Lo único que puedo ver es que la corriente en un condensador es igual a

i C = C d v d t

Si R, L y C están en serie, la corriente es la misma para los tres.

Entonces, todo lo que tengo que hacer es tomar la derivada de las ecuaciones de voltaje, eso me dará, si no hay ningún error en mis matemáticas, las ecuaciones de corriente...

AMORTIGUACIÓN CRÍTICA

i ( t ) = mi − α t ( A − α A t − α B )

SOBREAMORTIGUADO

i ( t ) = metro 1 A mi metro 1 t + metro 2 B mi metro 2 t

SUBAMORTIGUADO

i ( t ) = − α mi − α t ( k 1 C o s ( ω d t ) + k 2 S i norte ( ω d t ) ] + ω d mi − α t ( k 2 C o s ( ω d t ) − k 1 S i norte ( ω d t ) ]

Preguntas:

  1. ¿Es así como se encuentran las ecuaciones actuales para ese tipo de circuito? Si no es así, indíqueme la dirección correcta.
  2. ¿Son correctas estas ecuaciones para la corriente?

gracias

EDITAR: encontré esta página que da las mismas ecuaciones para la corriente que encontré para el voltaje (??)

V C ( t ) = 1 C ∫ i d t , luego diferencie la totalidad de su primera ecuación.
¿De qué ecuación estás hablando?
Ver respuesta ....
Tu ecuación diferencial se ve bien, pero parece que estás perdido en resolver las matemáticas. ¿Sabe cómo determinar si el circuito está subcrítico o sobreamortiguado? ¿Sabes cómo encontrar los parámetros ( a , α , etc.)? Esa parte es simple matemática antigua, ya no circuitos.
En lugar de encontrar el voltaje en C, encuentre la ecuación de voltaje en R y luego divida por R para encontrar I.

Respuestas (1)

En tu primera ecuación, escribe V C = 1 C ∫ i d t , luego diferencie la totalidad de esta ecuación (incluida la fuente de voltaje constante).

Esto da:

0 = R d i d t + L d 2 i d t 2 + 1 C i

Reorganizando:

d 2 i d t 2 + R L d i d t + 1 L C i = 0

Entonces la ecuación auxiliar es: metro 2 + R L metro + 1 L C = 0 , etc...

Se ve bien hasta el reordenamiento, pero entonces, ¿cómo es que una segunda derivada es igual al cuadrado de la primera derivada? d 2 i d t 2 ≠ ( d i d t ) 2
Si resuelvo esta ecuación, como dices, termino con las mismas ecuaciones para corriente y voltaje. ¿Es eso correcto?
Depende de qué componente esté tomando el voltaje: la corriente y el voltaje tienen la misma forma para la resistencia, pero no para el capacitor o el inductor.
@UL Lea sobre la solución de ODE de segundo orden: la respuesta a su pregunta es demasiado larga para darla aquí, pero basta con decir que metro ≠ d i d t
¿Cómo encuentro las ecuaciones actuales para el circuito de la serie RLC?
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