No está claro en qué nivel desea simular esto.

grano fino

Si desea hacer esto en un nivel de grano muy fino, solo necesita simular la mecánica newtoniana y la gravedad y debería emerger de sí mismo cuando tenga una trayectoria configurada.

Esto significa que calculas la fuerza gravitatoria como

$$\vec F = - G \frac{Mm}{r^3} \, \vec r \,,$$ dónde $\vec F$es el vector fuerza, $G$es la constante gravitacional, $M$es la masa de un objeto (digamos el planeta) y $m$es la masa del satélite o nave espacial. $r$es la distancia entre los dos objetos y $\vec r$es lo mismo que un vector. Con mi convención de signos el vector $\vec r$tendrá dirección opuesta a la fuerza $\vec F$. Esto significa que tienes que elegir $\vec r = \vec x_1 - \vec x_2$tal que la fuerza es atractiva.

Luego usa la mecánica newtoniana que en su caso aquí se reduce a simple$\vec F = m \vec a$. Aquí$\vec a$es el vector de aceleración. La aceleración es el cambio de velocidad en el tiempo. uno puede escribir$\vec a = \mathrm d \vec v / \mathrm d t$dónde$\vec v$es la velocidad y$t$el tiempo. Sin la derivada, se podría escribir como$\vec a = \Delta \vec v / \Delta t$.

A partir de ahí, establece algunas condiciones iniciales (posición, velocidad) para su planeta y satélite. Puede usar un solucionador ODE elegante como Runge-Kutta. Para empezar, el simple método de Euler será suficiente. ahí lo usas$\Delta \vec x = \vec v \cdot \Delta t$y$\Delta \vec v = \vec a \cdot \Delta t$. Usando la fuerza, tendrás

$$\Delta \vec x = \vec v \cdot \Delta t \qquad\text{and}\qquad \Delta \vec v = \frac{\vec F}{m} \cdot \Delta t$$ para pasar de un paso de tiempo al siguiente. Entonces en cada paso tienes una posición $\vec x$y una velocidad $\vec v$. tu calculas la fuerza $\vec F$y puede evolucionar su sistema por un paso de tiempo $\Delta t$.

Grano grueso

También se puede considerar la maniobra de la honda como una colisión elástica . Antes y después de la colisión, se deben conservar el momento total y la energía cinética total. Usando eso, puede calcular las nuevas velocidades después de la colisión. Es probable que el del planeta no cambie en absoluto si es mucho más pesado que el satélite. Hacer eso en una dimensión es posible usando una de las ecuaciones más simples en la página de Wikipedia.

Hacerlo en dos dimensiones requiere un poco más de trabajo ya que tendrás un ángulo de colisión. El caso en tres dimensiones puede reducirse a ocurrir dentro de un plano bidimensional. Uno tiene que averiguar dónde está eso.

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Espero que esto te ayude un poco para empezar o para refinar o cuestionar.

Bueno, el "objeto" tiene dos tipos de energía en todo momento: cinética (movimiento) y potencial gravitacional. Este cálculo que desea hacer es más fácil si solo hay un cuerpo significativo, como el sol. En este caso, al principio tu KE (energía cinética) es 0.5mv ² , y tu energía gravitatoria es U _g = -Gm ₁ m ₂ /r.

Ahora, un objeto nunca puede dejar completamente la atracción gravitatoria de otro objeto. pero eventualmente se vuelve insignificante. En este punto, la fórmula del potencial gravitacional devuelve cero. La energía potencial es relativa , lo que significa que lo que da la fórmula no es lo que importa, es la diferencia entre el PE de dos puntos. (Realmente espero estar redactando esto lo suficientemente bien) Entonces, la diferencia entre el PE de un cierto punto y... el infinito, donde la gravedad es cero (o lo suficientemente lejos como para que sea insignificante), es igual al valor devuelto por la fórmula. Entonces conecte sus dos masas y la distancia inicial, y obtenga cuánta energía cinética se convertirá en potencial. Ahora calcule la energía cinética inicial (0.5mv ²) y restarle el potencial.

Entonces, estamos en la recta final. Solo matemáticas desde aquí. K _f = K _i -U _gi

donde K _f es la energía cinética final, Ki _es la cinética inicial y U _gi es el potencial inicial.

Entonces, 0.5m ₂ v _f ² = 0.5m ₂ v _i ² - Gm ₁ m ₂ /r

0,5 m ₂ v _f ² = 0,5 m ₂ v _yo ² - Gm ₁ m ₂ /r

0.5v _f ² = 0.5v _i ² - Gm ₁ /r

v _f ² = v _yo ² - 2Gm ₁ /r

v _f = √v _yo ² - 2Gm ₁ /r

Ahí está. La velocidad final es igual a la raíz cuadrada de la velocidad inicial al cuadrado menos 2Gm/r, siendo m la masa del planeta o del sol del que estamos escapando, siendo r la distancia a la que empezamos y G, por supuesto, siendo la masa gravitacional. constante.