¿Cómo determinar los anchos de desintegración parcial relativos hadrónicos?

Este resultado se sigue de suponer perfecto$SU(3)_{flavour}$simetría y la regla de OZI . La teoría no es muy pesada, pero hay varios pasos.

empezamos con$SU(3)_{flavour}$simetría, es decir, la suposición de que la interacción fuerte es indiferente al sabor de la luz$u$,$d$, y$s$quarks. Esta simetría en realidad se rompe por las diferentes masas y cargas de los quarks, pero por lo general no es una mala aproximación. (Esta es la razón por la cual la vía óctuple funcionó tan bien para explicar los estados mesónicos observados en la década de 1960 y que llevaron al desarrollo del modelo de quarks ).

Siguiendo la Ecuación 11 "idealmente mezclada" de la conferencia de Curtis Meyer sobre Light and Exotic Mesons , comenzamos escribiendo el$n \bar n$estado como

$$n \bar n =\frac{1}{\sqrt{2}} (u\bar u + d\bar d) = \sqrt{\frac{1}{3}}f_8 + \sqrt{\frac{2}{3}}f_1$$ en términos de los dos isoescalares $SU(3)_{flavour}$estados

$$f_8=\frac{1}{\sqrt{6}}\left(u\bar u + d \bar d - 2 s \bar s\right) \textrm{ and } f_1=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(u\bar u + d \bar d + s \bar s\right)$$

Las amplitudes de decaimiento en piones y kaones son

$$\gamma(n \bar n \rightarrow \pi\pi) = \sqrt{\frac{1}{3}}\gamma (f_8\rightarrow \pi\pi) + \sqrt{\frac{2}{3}}\gamma(f_1 \rightarrow \pi\pi) = \sqrt{\frac{1}{3}} C_{f_8\rightarrow \pi\pi} g_T + \sqrt{\frac{2}{3}}C_{f_1\rightarrow \pi\pi})g_1$$ $$\gamma(n \bar n \rightarrow K\bar{K}) = \sqrt{\frac{1}{3}} C_{f_8\rightarrow K\bar{K}} g_T + \sqrt{\frac{2}{3}}C_{f_1\rightarrow K\bar{K}}g_1$$ donde $g_T$y $g_1$son constantes de acoplamiento y la $C$están$SU(3)$Coeficientes de Clebsch-Gordan determinados por la hipercarga $Y$e isospin $I$de los estados inicial y final.

Dado que los kaones y los piones son miembros de un$SU(3)$octeto y el$n \bar n$el estado tiene$(Y,I)=(0,0)$, por$n \bar n$se descompone en$\pi\pi$o$K\bar{K}$debemos mirar el$(Y,I)=(0,0)$listados de$\mathbf{8}\bigoplus\mathbf{8}$Coeficientes de Clebsch-Gordan en una fuente como la Tabla 8.4 de Unitary Symmetry and Elementary Particles de DB Lichtenberg (o simplemente podríamos mirar al final de la página 9 de Meyer). Dado que los piones, kaones y anti-kaones tienen$(Y,I)=(0,1)$,$(1,\frac{1}{2})$y$(-1,\frac{1}{2})$, encontramos eso

$$C_{f_8\rightarrow \pi\pi} = -\frac{\sqrt{15}}{5} = -\sqrt{\frac{12}{20}} \textrm{ and } C_{f_1\rightarrow \pi\pi} = \frac{\sqrt{6}}{4} = \sqrt{\frac{3}{8}}$$ $$C_{f_8\rightarrow K\bar{K}} = \frac{\sqrt{10}}{10} = \sqrt{\frac{2}{20}} \textrm{ and } C_{f_1\rightarrow K\bar{K}} = \frac{1}{2} = \sqrt{\frac{2}{8}}$$ $$C_{f_8\rightarrow \bar K K} = -\frac{\sqrt{10}}{10} = -\sqrt{\frac{2}{20}} \textrm{ and } C_{f_1\rightarrow \bar K K} = -\frac{1}{2} = -\sqrt{\frac{2}{8}}$$ (Tenga en cuenta que todos $\pi\pi$Los estados están incluidos en el $(I_1,Y_1;I_2,Y_2) = (1,0;1,0)$fila en la tabla Clebsch-Gordan, pero $K\bar K$y $\bar K K$están en diferentes $(\frac{1}{2},1; \frac{1}{2},-1)$y $(\frac{1}{2},-1; \frac{1}{2},1)$filas, por lo que debemos calcularlas por separado. Esto no es obvio a partir de la derivación de Meyer, donde el $K\bar{K}$amplitudes en la parte inferior de la página 12 son un factor de 2 inconsistente con el $K\bar{K}$tasas que se muestran en su Fig. 4.)

Insertando estos valores para los coeficientes en el$n \bar n$amplitudes de decaimiento tenemos:

$$\gamma(n \bar n \rightarrow \pi\pi) = -\sqrt{\frac{1}{3}} \sqrt{\frac{12}{20}} g_T + \sqrt{\frac{2}{3}}\sqrt{\frac{3}{8}}g_1 = -\sqrt{\frac{1}{5}} g_T + \frac{1}{2}g_1$$ $$\gamma(n \bar n \rightarrow K\bar{K}) = \sqrt{\frac{1}{3}} \sqrt{\frac{2}{20}} g_T + \sqrt{\frac{2}{3}}\frac{1}{2}g_1 = \sqrt{\frac{1}{30}} g_T + \sqrt{\frac{1}{6}}g_1$$ $$\gamma(n \bar n \rightarrow \bar K K) = -\sqrt{\frac{1}{30}} g_T - \sqrt{\frac{1}{6}}g_1$$ (Las dos primeras son solo las ecuaciones 21 y 22 de Meyer para el ángulo de mezcla ideal).

Para averiguar la relación entre$g_T$y$g_1$, consideramos la amplitud para el decaimiento de la

$$s\bar{s} = \sqrt{\frac{2}{3}}f_8 - \sqrt{\frac{1}{3}}f_1$$ estado en piones, es decir $$\gamma(s\bar{s}\rightarrow \pi\pi) = \sqrt{\frac{2}{3}} C_{f_8\rightarrow \pi\pi} g_T - \sqrt{\frac{1}{3}}C_{f_1\rightarrow \pi\pi}g_1 =-\sqrt{\frac{2}{5}} g_T - \sqrt{\frac{1}{8}}g_1.$$ Esta decadencia sólo puede ocurrir si el $s\bar{s}$los quarks se aniquilan entre sí, lo que se suprime según la regla OZI . La tasa es cero bajo el supuesto de supresión perfecta de OZI, en cuyo caso $$\sqrt{\frac{2}{5}} g_T = -\sqrt{\frac{1}{8}}g_1 \qquad \Longrightarrow \qquad g_1=-\sqrt{\frac{16}{5}} g_T$$

A partir de esto podemos calcular el$n\bar n$tasas de descomposición:

$$\gamma^2(n \bar n \rightarrow \pi\pi) = \left(-\sqrt{\frac{1}{5}} g_T - \frac{1}{2}\sqrt{\frac{16}{5}} g_T\right)^2 = \frac{9}{5} g_T^2$$ $$\gamma^2(n \bar n \rightarrow K\bar{K}) = \left(\sqrt{\frac{1}{30}} g_T - \sqrt{\frac{1}{6}}\sqrt{\frac{16}{5}} g_T\right)^2 = \frac{9}{30} g_T^2$$ $$\gamma^2(n \bar n \rightarrow \bar K K ) = \frac{9}{30} g_T^2$$

Finalmente, la proporción de$n \bar{n}$decae en dos piones o kaones es

$$\frac{\gamma^2(n \bar n \rightarrow \pi\pi)}{\gamma^2(n \bar n \rightarrow K \bar{K} )+\gamma^2(n \bar n \rightarrow \bar K K )} = \frac{\frac{9}{5} g_T^2}{2\frac{9}{30} g_T^2}=3$$ es decir, el valor declarado por Amsler y Close .