¿Cómo determinar la tasa de expansión actual del universo a partir de la observación de objetos pasados?

Todo el espacio-tiempo se resume en la métrica. En el caso de nuestro universo, bajo supuestos isotrópicos y homogéneos, obtenemos la métrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker

$$\mathrm{d}s^2 = \mathrm{d}t^2-a(t)^2\left(\frac{\mathrm{d}r^2}{1-k r^2} + r^2 \mathrm{d}\mathbf{\Omega}^2\right)$$ y cuando está calculando distancias usando esta métrica, también las está calculando en el espacio y el tiempo.

Y por tanto, considerando dos objetos separados por una distancia coordenada fija$\Delta \bar{l}$la distancia entre ellos es$\Delta l = a(t)\Delta\bar{l}$. de donde se puede derivar la ley de Hubble

$$\frac{\mathrm{d}\Delta l}{\mathrm{d}t}=H\Delta l.$$

Por otro lado, el Universo se expande con un parámetro constante$H$en la época actual. Por lo tanto, ya sea que estemos midiendo la expansión de objetos pasados ​​o presentes, obtenemos la misma información.